专题07 盘点抛物线中的最值问题-备战2023年高考数学二轮复习最值题型讲解专训（新高考专用）

2023高考二轮复习讲与练 专题07 盘点抛物线中的最值问题 抛物线中焦点弦的最值问题 抛物线中的最值问题 抛物线中的面积最值问题 抛物线中的参数最值问题 抛物线中多元最值问题 抛物线中的距离最值问题 抛物线与圆交汇的最值问题 抛物线与平面向量交汇最值问题 典例讲解 类型一、抛物线中焦点弦最值问题 1．已知抛物线C：的焦点为F，过点F分别作两条直线，，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（　　） A．16 B．20 C．24 D．32 【答案】C 【详解】抛物线C：的焦点，设直线l1：，直线l2：，由题意可知，则，联立整理得：，设，，则，设，，同理可得：，由抛物线的性质可得：，，∴， 当且仅当时，上式“＝”成立．∴的最小值24. 2．（多选题）已知抛物线C：的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相交于，两点，则下列结论中正确的是（       ） A．抛物线C的准线l的方程为 B．的最小值为4 C．若，点Q为抛物线C上的动点，则的最小值为6 D．的最小值 【答案】ACD 【分析】由焦点到准线的距离可得的值，进而求出抛物线的方程，可判断A正确；设直线的方程与抛物线的方程联立，求出两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长的表达式，再由参数的范围可得其最小值，判断B不正确；过作准线的垂线，垂足为，由抛物线的性质可得，可判断C正确；由两根之积及均值不等式的性质可得的最小值为，判断D正确． 【详解】由焦点到准线的距离为4可得，所以抛物线的方程为，A中，由抛物线的方程为，所以可得准线方程为，故A正确；中，过焦点的直线为，则，整理可得，可得，，所以， 时取等号， 最小值为8，所以不正确；中，满足 ，可知点在抛物线内部， 过作准线的垂线，垂足为，则，当且仅当，，三点共线时取等号，所以的最小值为6，故正确； 中，由B的分析可知： 由抛物线的方程可得：，所以，当且仅当时取等号，所以正确； 3．（多选题）已知过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，则下列结论正确的是（       ） A． B．以为直径的圆与直线相切 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】设出直线方程联立抛物线方程，得出根与系数关系，根据向量运算可判断A，结合图形及抛物线的定义可判断B，设，利用抛物线定义、三角函数及均值不等式判断C，根据抛物线定义，根与系数的关系及均值不等式判断D. 【详解】由可得，所以焦点，准线方程为，显然直线斜率存在，设直线方程为，，，如图，联立可得，所以， 对于A, ，故A错； 对于B，取AB的中点为N过分别作准线的垂线，垂足分别为, 则,即圆心到准线的距离等于半径，所以以为直径的圆与直线相切，故正确； 对于C，设,则，, 则， 所以，当且仅当且仅当时，即时等号成立，故正确； 对于D, ，当且仅当时等号成立，故正确. 4．已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线和圆于，，， 四个点，设，，则_____；的最小值为_______． 【答案】16 74 【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，圆的圆心和半径，由题意设直线的方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义、结合基本不等式即可求得答案． 【详解】由题意得，准线方程为，圆的圆心为，半径， 由题意设直线的方程为，联立消元得， ∴，，∴， ，由抛物线定义可得，当且仅当且即，时等号成立， 类型二、抛物线中面积最值问题 1．已知F是抛物线C：的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，O为坐标原点，若，，垂足为M，则面积的最大值为（       ） A．6 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】由题意知直线OA的斜率存在且不为0，设直线OA的方程为，与抛物线方程联立，得，因为，所以直线OB的方程为，与抛物线方程联立，得，当时，易知轴，不符合题意；当时，，所以直线AB的方程为，所以直线AB过定点，因为，所以点M的轨迹是以OD为直径的圆（不包含点O，D），所以点M到x轴距离的最大值为3，此时的面积最大，又，则面积的最大值为. 2．设点为抛物线上的动点，F是抛物线的焦点，过点P作圆的切线，分别交抛物线C于点，当时，求面积的最小值（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，因为在抛物线上，故设，设过的圆的切线方程为， 则，得，是此方程的两根，则，，设，因为直线与抛物线交于点， 由，得，，所以，同理， 直线方程是，即，则， 点到的距离为，又，， 所以＝，令， 则，，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立，所以，即时，取得最小值． 3．抛物线上一动点为，焦点，以为直径的圆设为圆，当圆面积取最小时，圆的方程是______. 【答案】 【