专题06 盘点双曲线中的最值问题-备战2023年高考数学二轮复习最值题型讲解专训（新高考专用）

2023高考二轮复习讲与练 专题06 盘点双曲线中的最值问题 双曲线中的离心率最值问题 双曲线中的最值问题 双曲线中的面积最值问题 双曲线中的参数最值问题 双曲线中多元最值问题 双曲线中的距离最值问题 双曲线中三角形周长最值问题 双曲线与平面向量交汇最值问题 典例讲解 类型一、双曲线中的离心率最值问题 1.已知双曲线（，）的右顶点为，抛物线（）的焦点为，若在双曲线的渐进线上存在点，使得，则双曲线的离心率的最大值是（ ） A. B. C. D. 答案：A 【分析】首先求出，，设，根据得到，从而得到，再整理即可得到离心率的取值范围. 【详解】双曲线（，）的右顶点，渐近线方程为，抛物线（）的焦点为，设，，，因为，所以，整理得，由题知，即，，，，所以，因为，所以.则双曲线的离心率的最大值是。 2．（多选题）已知双曲线，直线与交于，两点（在的上方），，点在轴上，且轴.若的内心到轴的距离不小于，则的离心率最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内心的的性质得到，从而得到，，进而求出离心率的取值范围. 【详解】因为A在B的上方，且这两点都在C上，所以，，则. 因为，所以A是线段的中点，又轴，所以，， 所以的内心G在线段上.因为DG平分∠EDA，在△EDG中，由正弦定理得：，在△ADG中，由正弦定理得：，由于，，所以，因为G到y轴的距离不小于，所以，所以， 因此，即，，故，则的离心率最大值为. 3．已知椭圆和双曲线有公共的焦点､，曲线和在第一象限相交于点P.且，若椭圆的离心率的取值范围是，则双曲线的离心率的最小值是___________. 【答案】 【分析】设，由椭圆、双曲线的定义可得，，由余弦定理可建立方程，转化为离心率的关系式，根据椭圆离心率范围，计算即可得到双曲线离心率范围. 【详解】设椭圆，双曲线：，椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆离心率，双曲线离心率，，如图， 由椭圆定义可得：，由双曲线定义可得：，联立可得，，由余弦定理可得：，即，解得，因为，所以，，可得，故，则双曲线的离心率的最小值是。 4．设双曲线的方程为，、为其左､右两个顶点，是双曲线上的任意一点，引，，与交于点. （1）求点的轨迹方程； （2）设（1）中所求轨迹为，、的离心率分别为、，当时，的取值范围. 【答案】（1）（除点外）；（2）. 【解析】（1）根据题意，设，根据椭圆的几何性质得出、的坐标，由，，由直线的斜率公式得出点的坐标间的关系式，从而得出点的轨迹方程； （2）由（1）得的方程为：，利用椭圆的几何性质求出，最后根据，即可求出的取值范围. 【详解】（1）根据题意，设， ， 由①②得：，， 代入③得，即，即，经检验点不合题意， 因此Q点的轨迹方程为（除点外）. （2）由（1）得Q点的轨迹方程为（除点外），所以的方程为：，，，，. 类型二、双曲线中的面积最值问题 1．已知椭圆，双曲线与椭圆共焦点，且与椭圆在四个象限的交点分别为，则四边形面积的最大值是___________. 【答案】 【分析】设双曲线和椭圆在第一象限得交点为，根据对称性易得四边形是矩形且面积为，只需联立双曲线和椭圆，求出交点表达式即可. 【详解】依题意得，双曲线的焦点是，设双曲线方程为，且，不妨设在第一象限，根据对称性易得四边形是矩形，且面积为：，联立，解得，注意到，化简得，于是， 所以四边形面积为，又，取等号，则四边形面积最大值为. 2．已知，曲线由曲线和曲线组成，其中曲线的右焦点为，曲线的左焦点. （1）求的值； （2）若直线过点交曲线于点，求面积的最大值. 【答案】（1）；（2）最大值为. 【分析】（1）根据椭圆和双曲线的焦点即可列出式子求解； （2）设出直线的方程，与椭圆联立，利用韦达定理可表示出三角形的面积，即可求出最值. 【详解】（1）由题意：，，解得即 （2）由（1）知，曲线，点，设直线的方程为：， 联立得：，，又，， 设，，，， 面积，令，，，当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为. 3．在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆C上某一点恰好与点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线的交点为T. (1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程； (2)曲线上一点P，点A､B分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，；(2) 【分析】（1）由对称性可得，代入计算可得定值，根据定值可得的轨迹为双曲线，利用双曲线的定义可得方程； （2）根据分别为双曲线的渐近线设出点A､B的坐标，设，然后利用向量的坐标运算得到点坐标，将点坐标代入双曲线方程，将面积用表示出来