第01讲 集合思想的综合应用 讲义-2023届高考数学二轮复习提升微专题代数篇

第01讲 集合思想的综合应用 一、知识与方法 1.反面求解一一补集思想的应用 补集思想即对原命题的否定. 利用补集思想(直接求解困难或情形较多,而求它们补集较简单或补集的情形较少,则先求其补集,再求解),求有关参数的值或取值范围. 对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明确,难以从正面人手的数学问题,在解题时,则需调整思路,从问题的反面人手,探求已知和末知的关系,使之化难为易、化隐为显,将问题解决,这就是“顺繁则逆”“正难则反”的解题策略.这就是将研究对象的全体视为全集,求出使问题反面成立的集合的补集即为所求,这也是处理问题的间接化原理的体现. 2.集合的综合问题 （1）集合与函数、方程、不等式的综合问题； （2）集合的开放问题与实际应用问题； （3）集合的新定义问题或创新问题； （4）有集合背景的推理问题. 二、典型例题 例1（1）已知集合.若,求实数的取值范围. (2)已知3个方程,中至少有一个方程有实根,求实数的取值范围. 例2.（1）集合 求使成立的实数的取值范围； （2）已知.问是否存在,使得若存在,求出的取值范围；若不存在,请说明理由. 例3（1）设平面点集,{则所表示的平面图形的面积为( ) A. B. C. D. （2）已知,若向区域上随机投一点,则点落人区域的概率为( ). A. B. C. D. 三、易错警示 例已知,且,求的取值范围. 四、难题攻略 例（1）若集合,集合,且,则的取值范围为_______； （2）设集合,若,则实数的取值范围是 （3）在平面直角坐标系中,集合,则点集,所表示的区域的面积是___； （4）已知.求成立时需满足的充要条件 五、强化训练 1.对任意两个非零的平面向量和,定义,若平面向量满足与的夹角,且和都在集合中,则 A. B.1 C. D. 2.设,问是否存在,使得?若存在,求出的值；若不存在,请说明理由. 3.设集合. （1）求证:； （2）若是一个在上单调递增的函数,是否有若是,请证明. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 集合思想的综合应用 一、知识与方法 1.反面求解一一补集思想的应用 补集思想即对原命题的否定. 利用补集思想(直接求解困难或情形较多,而求它们补集较简单或补集的情形较少,则先求其补集,再求解),求有关参数的值或取值范围. 对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明确,难以从正面人手的数学问题,在解题时,则需调整思路,从问题的反面人手,探求已知和末知的关系,使之化难为易、化隐为显,将问题解决,这就是“顺繁则逆”“正难则反”的解题策略.这就是将研究对象的全体视为全集,求出使问题反面成立的集合的补集即为所求,这也是处理问题的间接化原理的体现. 2.集合的综合问题 （1）集合与函数、方程、不等式的综合问题； （2）集合的开放问题与实际应用问题； （3）集合的新定义问题或创新问题； （4）有集合背景的推理问题. 二、典型例题 例1（1）已知集合.若,求实数的取值范围. (2)已知3个方程,中至少有一个方程有实根,求实数的取值范围. 【分析】本例两个小题如果直接求解,情况较多,十分麻烦,第(1)问,由于.则中方程必有实根,若为两个等根,则此根应为负根；若为两个不等实根,则又有两种情况:(1)两根均为负根,(2)一根为负,另一根非负；第(2)问,从正面理解“至少”可分3类:(1)只有一个方程有实根,有3种情况；(2)只有两个方程有实根,有3种情况；(3)3个方程都有实根,有一种情况,一一求解显得非常繁杂,总之这两小题从正面解完全可以解出来.但由于情况众多,正面解很费时而且容易出错,面对这种情况我们可以从问题的反面来思考,对于第问,上述【分析】中3种情况的反面是方程的两根均为非负,求此情况下的取值范围.相对于全集(方程有实根)的补集,这就是利用补集思想解题的方法.对于第(2)问,从反面理解,3个方程都没有实根,只有一种情况.而它的反面就是至少有一个方程有实根的种种情况,这就提醒我们可以运用补集的思想方法,补集思想即对原命题的否定,即求出3个方程都没有实根时的取值范围,再求它相对于全集的补集. 从中可以看出正与逆必是事物矛盾的双方,反映在数学解题中主要体现于解题的思维进程上,如通常把综合法的解题方法称为“正”,而把分析法、反证法的解题方法称为“逆”.同样一般问题的解决过程,总是先考虑从正面入手,进行思考,实施解答,这是解题的一种基本思想方法,但有时会遇到从正面入手不易解决,比如对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明确,在解题时,则需调整思路,从问题的反面去思考,也就是“正难则反”,而补集法正是“正难则反”的体现,用这种方法可以收到意料不到的功效,因为这种“逆”恰好弥补了“正”的不足.也是处理问题的间接化原理的体现. 【解析】