第02讲 充分条件、必要条件与充要条件 讲义-2023届高考数学二轮复习提升微专题代数篇

第02讲 充分条件、必要条件与充要条件 一、知识与方法 1.充分条件 若条件可以使事件成立,则称条件为事件成立的充分条件,简称为的充分条件. 充分为足够的意思,保证能由推证得到,即. 2.必要条件 若没有条件,则事件不能成立,则称条件为事件成立的必要条件,简称为的必要条件. 必要为不可缺少的意思,缺少了,则不成立. 由于逆否命题与原命题等价,故若由能推证得到,即是的必要条件. 3.充要条件 对于事件与,若,且,即,则称是的充分且必要条件,简称充要条件. 充要条件的证明:欲证是的充要条件,需要两个方面: （1）(充分性),（2）(必要性). 一个用充要条件叙述的命题,实际上包含了两个互逆的命题,这类命题还常常用“当且仅当”等语句来表述. 二、典型例题 例1（1）已知.若是的充分不必要条件,求实数的取值范围. （2）设实数满足,其中实数满足或,且非是非的必要不充分条件,求的取值范围. （3）已知关于的方程有两个小于1的正根.试分析是的什么条件. 例2（1)已知集合命题,命题,并且命题是命题的充分条件,求实数的取值范围. （2）已知函数,且给定命题或,若命题,且是的充分条件,求实数的取值范围. （3）已知是定义在上的偶函数,且以2为周期,则“为上的增函数"是“为上的减函数”的() A.既不充分也不必要条件 B.充分而不必要的条件 C.必要而不充分的条件 D.充要条件 例3（1）求关于的方程的两个实根均大于1的充要条件； （2）已知数列的前项和,求数列是等比数列的充要条件； （3）求直线经过两直线和交点的充要条件； （4）设是的三边长,求证:方程与0有公共根的充要条件是； （5）已知,求证:的充要条件是. 三、易错警示 例：已知,设命题甲:两个实数满足；命题乙:两个实数a,b满足,且,那么(). A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 四、难题攻略 例：设命题是方程的两个实根,不等式对任意实数恒成立；命题q:不等式0)有解,若且为真,试求的取值范围. 五、强化训练 1.已知函数,则关于的方程有四个不同实数解的充要条件是( ). A. B.或C.D. 2.若关于的方程至少有一个非负实数根. （1）求其充要条件； （2）求其充分非必要条件； （3）求其必要非充分条件； （4）求其既非充分也非必要条件. 3.设,函数,若的解集为,,求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 充分条件、必要条件与充要条件 一、知识与方法 1.充分条件 若条件可以使事件成立,则称条件为事件成立的充分条件,简称为的充分条件. 充分为足够的意思,保证能由推证得到,即. 2.必要条件 若没有条件,则事件不能成立,则称条件为事件成立的必要条件,简称为的必要条件. 必要为不可缺少的意思,缺少了,则不成立. 由于逆否命题与原命题等价,故若由能推证得到,即是的必要条件. 3.充要条件 对于事件与,若,且,即,则称是的充分且必要条件,简称充要条件. 充要条件的证明:欲证是的充要条件,需要两个方面: （1）(充分性),（2）(必要性). 一个用充要条件叙述的命题,实际上包含了两个互逆的命题,这类命题还常常用“当且仅当”等语句来表述. 二、典型例题 例1（1）已知.若是的充分不必要条件,求实数的取值范围. （2）设实数满足,其中实数满足或,且非是非的必要不充分条件,求的取值范围. （3）已知关于的方程有两个小于1的正根.试分析是的什么条件. 【分析】充分条件、必要条件、充要条件的常用判定方法是集合法,转化为两集合间的包含关系求解.具体见下表: 记法 关系 且 结论 是的充分不必要条件 是的必要不充分 是的充要条件 是的既不充分也不必要条件 第（1）问,在确定后,对集合的情况分类讨论即或).体现分类讨论的思想；第（3）问,可先从结论出发,求出使结论成立的必要条件,然后再验证得到的必要条件是否满足充分性. 【解析】(1)由,解得,即. 是的充分不必要条件,. (1)若,则有,此时应有,即； (2)若,设是方程的两根, 则有,又∵. ∴.综上所述,. (2),又. 或,即或. ∴或或,即或. ∵非是非的必要不充分条件,∴是的必要不充分条件. ∴或, 得出的取值范围是或. (3)设是方程的两个小于1的正根, 则. ∴,即,即, 但取时,方程无实根,即.综上知,是的必要不充分条件. 例2（1)已知集合命题,命题,并且命题是命题的充分条件,求实数的取值范围. （2）已知函数,且给定命题或,若命题,且是的充分条件,求实数的取值范围. （3）已知是定义在上的偶函数,且以2为周期,则“为上的增函数"是“为上的减函数”的() A.既不充分也不必要条件 B.充分而不必