第04讲 求函数值域的一般方法 讲义-2023届高考数学二轮复习提升微专题代数篇

第04讲 求函数值域的一般方法 一、知识与方法 1 函数的值域 在函数 中, 自变量 对应的函数值的集合 叫作函数的值域, 求值域时不但要重视对应关系的作用, 而且要特别注意定义域的制约作用. 2 注意点 求函数的值域问题关键是将解析式作变形处理,通过观察或利用熟知的基本函数的 值域,逐步推出函数的值域. 求函数的值域没有固定的方法和模式,解题的技巧性特别强,必须注意, 函数的图像 在求函数的值域中有十分重要的作用. 二、典型例题 【例 1】 （1）已知 , 求 的值域; （2）已知 , 求 的值域; （3）已知 , 求 的值域; (4) 已知 , 求 的值域; (5) 已知 , 求 的值域. 【例 2】 求下列函数的值域. (1) ; (2) ; (3) ; (4) (5) ; (6) ; (7) ; (8) ; (9) 【例 3】 求下列函数的值域: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) . 三、易错警示 【例 1】 求函数 的值域. 【例 2】 求函数 的值域. 四、难题攻略 【例】 设函数 则 的值域是（ ）. A. B. C. D. 五、强化训练 1. 已知函数 的值域为 , 则 2. 求函数 的值域. 3. 已知函数 满足 , 求 的值域. 4. 已知函数 的值域是 , 求 的值域. 5. 已知 都是实数, , 求 的最小值. 6. 实数 满足 , 求 的值域. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 求函数值域的一般方法 一、知识与方法 1 函数的值域 在函数 中, 自变量 对应的函数值的集合 叫作函数的值域, 求值域时不但要重视对应关系的作用, 而且要特别注意定义域的制约作用. 2 注意点 求函数的值域问题关键是将解析式作变形处理,通过观察或利用熟知的基本函数的 值域,逐步推出函数的值域. 求函数的值域没有固定的方法和模式,解题的技巧性特别强,必须注意, 函数的图像 在求函数的值域中有十分重要的作用. 二、典型例题 【例 1】 （1）已知 , 求 的值域; （2）已知 , 求 的值域; （3）已知 , 求 的值域; (4) 已知 , 求 的值域; (5) 已知 , 求 的值域. 【分析】 求二次函数值域的基本方法是配方法;对有定义域限制的二次函数值 域问题, 可结合函数性质及其图像求出最大值、最小值、从而求出值域;含有参数的问题, 需要在不确定的因素中寻找确定的关系. 第 (4) 问, 函数关系确定,区间不定,第 (5)问,函数关系不定(动轴),区间确定,一般都可分对称轴在区间的左侧、右侧及区间内 3 种情况 分类讨论. 【解析】(1) 的值域为 . (2) , 显然 在 上单调递增. ∴ 当 时, ; 当 时, 的值域为 . (3) . 当 时, 有 又 当 时, 的值域为 . (4) . 函数的对称轴为 . 1． 若 , 即 在 上单调递减. 当 时, ; 当 时, 2． 若 即 . 当 时, ; 当 时, 3． 若 , 当 时, ; 当 时, . 4．. 若 在 上单调递增. 当 时 , 当 时, . 综上所述, 当 时, 的值域为 ; 当 时, 的值域为 ; 当 时, 的值域为 ; 当 时, 的值域为 . (5) 由已知可知, 函数 的对称轴为 , 1． 当 时, , ∴ 的值域为 ; 2． 当 时, , ∴ 的值域为 ; 3． 当 时, , ∴ 的值域为 ; 4． 当 时, , ∴ 的值域为 . 【例 2】 求下列函数的值域. (1) ; (2) ; (3) ; (4) (5) ; (6) ; (7) ; (8) ; (9) 【分析】求函数的值域是一个比较复杂的问题, 解题方法很多, 本例通过 9 小 题对一些简单函数的值域的求法作一个初步介绍,每道题用何种方法求解都一一标明. 求 函数值域的基本方法有观察法、换元法、单调性法、配方法、判别式法、分离常数法、基本不 等式法、数形结合法等,或多种基本方法配合使用,读者可从中总结出一些规律性的解题思路. 【解析】(1) (观察法)所给解析式结构简单, 可直接看出其单调性或某一部分的范围,然后结 合不等式知识求出值域,这种一般不需要复杂计算的方法称为观察法. ∵ 函数的值域为 . （2）解法一、(換元法)设 , 则 . ∴, 可得函数的值域 . 解法二、（单调性法：函数 在 上均单调递增, 函数的值域为 . （3）(配方法)配方, 得 函数 的值域为 . (4) (判别式法