第05讲 函数的对应法则f在解题中的应用 讲义-2023届高考数学二轮复习提升微专题代数篇

第05讲 函数的对应法则在解题中的应用 一、知识与方法 1 函数的对应法则 函数的对应法则实质上是“算法”, 由已知条件求 的解析式通常有换元法,参数 法,配湊法,待定系数法及方程组求解法等,都是一些变元代换的方法, 在变元代换过程 中,都要注意变元取值范围的变化. 2 函数的三要素 由函数的近代定义可知,函数概念含有 3 个要素:定义域 、值域 和对应法则“ ", 它是函数关系的本质特征. (1) 定义域是函数的灵魂,对应关系是函数的核心, 当且仅当两个函数的三要素都相 同时,这两个函数才相等. （2）如果两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么它们的值域一定相等, 因此只 要两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等. 二、典型例题 【例 1】 (1) 已知 , 求 ; （2）已知 , 求 ; (3) 已知 是一次函数,且满足 , 求 ; (4) 已知 满足 , 求 ; (5) 已知 , 求 ; (6) 已知 为二次函数且 , 求 ; (7) 已知函数 求 和 . 【例 2 】（1）已知函数 . 是否存在实数 , 使得函数的定义域和值域都是 ? 若存在,求出 的值;若不存在,说明理由. （2）已知函数 的定义域和值域都是 . 求实数 的值. （3）已知 数:是否存在实数 使函数在区间 上 的值域为 ? 【例 3 】 (1) 设函数 的定义域是 , 问 的值域中有 多少个整数? （2）已知函数 的值域是, 求实数 的取值范围. （3）已知函数 的值域为 , 求实数 的值. 三、易错警示 例 对定义域分别为的函数和 规定函数h(x) 如下： (1) 若函数 , 写出函数 的解析式; （2）求问题(1)中函数 的值域. 四、难题攻略 【例】 已知函数 , 若 , 且当 时, 恒成 立,试确定 的取值范围. 五、强化训练 1. (1) 若函数 的定义域为 , 求实数 的取值范围; （2）若函数 的值域为 , 求实数 的取值范围. 2. (1) 定义在 内的函数 满足 , 求函数 的 解析式; （2）若函数 满足 (其中 是不等于零的常数, 且 , 求函数 的解析式. 3.已知函数 . (1) 若函数 的定义域和值域均为 , 求实数 的值; （2）设 , 试问是否存在实数 , 使函数 的定义域与值域均为 ? 若 存在,请求出 的取值范围,并指出 所满足的条件;若不存在, 请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 函数的对应法则在解题中的应用 一、知识与方法 1 函数的对应法则 函数的对应法则实质上是“算法”, 由已知条件求 的解析式通常有换元法,参数 法,配湊法,待定系数法及方程组求解法等,都是一些变元代换的方法, 在变元代换过程 中,都要注意变元取值范围的变化. 2 函数的三要素 由函数的近代定义可知,函数概念含有 3 个要素:定义域 、值域 和对应法则“ ", 它是函数关系的本质特征. (1) 定义域是函数的灵魂,对应关系是函数的核心, 当且仅当两个函数的三要素都相 同时,这两个函数才相等. （2）如果两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么它们的值域一定相等, 因此只 要两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等. 二、典型例题 【例 1】 (1) 已知 , 求 ; （2）已知 , 求 ; (3) 已知 是一次函数,且满足 , 求 ; (4) 已知 满足 , 求 ; (5) 已知 , 求 ; (6) 已知 为二次函数且 , 求 ; (7) 已知函数 求 和 . 【分析】第（1）问，可用换元法或配凑法；第（2）问，可用配凑法；第三问，可用待定系数法;第 (4)问, 可用解方程组法; 第(5) 问, 可先求 , 再求 , 求 时, 可用换元法,即设 , 这种解法带有普遍性, 可推广至类似题型; 第 问, 可用 待定系数法; 第 问,用分段函数逐层代换法. 【解析】解法一、设则，∴ 解法二、（配湊法） . ∴ (2) (配凑法) , 而 时或 时) ∴ 或 . （3）设 , 则 （4）(解方程组法) .① 把(1)中的 换成 , 得 . ① - ②得 （5）设 , 即 . 把 和 分 别代人 的左边和右边, 可得 , ∴, 即 . (6) 设 . 则 ∴ 又 . (7) 当 时, , 当 时, , 当 , 即 时, ; 当 , 即 时, 【例 2 】（1）已知函数 . 是否存在实数 , 使得函数的定义域和值域都是 ? 若存在,求出 的值;若不存在,说明理由. （2）已知函数 的定义域和值域都是 . 求实数 的值. （3）已知 数: