第06讲 函数的最大值、最小值 讲义-2023届高考数学二轮复习提升微专题代数篇

第06讲 函数的最大值、最小值 一、知识与方法 1 函数最大值与最小值的定义 函数 在 处的函数值是 , 如果对于定义域内任意 , 不等式 恒成立,那么 就是函数 的最小值, 记作 , 点 称 为此函数的最小值点; 如果对于定义域内任意 , 不等式 恒成立, 那么 就是函数 的最 大值, 记作 , 点 称为此函数的最大值点. 最小值与最大值统称为最值, 对应的 称为最值点. 2 利用函数的单调性求解函数最值的步骤 （1）判断或证明函数的单调性; （2）计算端点处的函数值; （3） 确定最大值和最小值. 3 分段函数的最值 由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式, 因而其最值的常用解法 是先求出分段函数在每一个子区间上的最值,然后取各区间上最大值中的最大者作为分 段函数的最大值, 各区间上最小值的最小者就是分段函数的最小值. 4 通过发散思维实现一题多解 求函数的值域或最值这类数学问题的技巧性较强,且常常可以一题多解,很能体现数 学核心素养, 正如数学教育家 ・波利亚所言“智者通权达变”. 二、典型例题 例 1 (1) 已知 , 函数 的最小值是 (2) 已知关于 的函数 的定义域为 , 若存在区间 , 使得 的值域也是 , 则当 变化时, 的最大值是 (3) 已知 , 且 , 求 的最小值. (4) 若 , 且 , 求 的最大值. 【例2】已知函数 （1）讨论在上的奇偶性; （2）当时,求函数在闭区间上的最大值. 【例3】已知是实数,函数 (1)若求的值及曲线在点处的切线方程; (2)求在区间上的最大值. 三、易错警示 【例】已知函数的最小值为1,求实数的值. 四、难题攻略 【例】如图所示,有一正方形钢板缺损一角(图中的阴影部分),边缘线是以直线为对称轴,以线段的中点为顶点的抛物线的一部分.工人师傅要将缺损一角切割下来,使剩余的部分成为一个直角梯形.若正方形的边长为,问如何画切割线,可使剩余的直角梯形的面积最大?并求其最大值. 五、强化训练 1. 已知函数,且为实数,求的最小值. 2.已知函数. (1)若是方程的两个实根,是锐角三角形的两个内角,求证:; (2)对任意实数,恒有,证明; (3)在(2)的条件下,若函数的最大值是8,求. 3.已知函数的定义域为,设点是函数图像(见图)上的任意一点,过点分别作两条渐近线和轴的垂线,垂点分别为. (1)证明:为定值,并求出这个定值; (2)求四边形面积的最小值; (3)设函数且为常数),定义域为,请根据、(2)的结论写出一个类似的命题,并加以证明. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 函数的最大值、最小值 一、知识与方法 1 函数最大值与最小值的定义 函数 在 处的函数值是 , 如果对于定义域内任意 , 不等式 恒成立,那么 就是函数 的最小值, 记作 , 点 称 为此函数的最小值点; 如果对于定义域内任意 , 不等式 恒成立, 那么 就是函数 的最 大值, 记作 , 点 称为此函数的最大值点. 最小值与最大值统称为最值, 对应的 称为最值点. 2 利用函数的单调性求解函数最值的步骤 （1）判断或证明函数的单调性; （2）计算端点处的函数值; （3） 确定最大值和最小值. 3 分段函数的最值 由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式, 因而其最值的常用解法 是先求出分段函数在每一个子区间上的最值,然后取各区间上最大值中的最大者作为分 段函数的最大值, 各区间上最小值的最小者就是分段函数的最小值. 4 通过发散思维实现一题多解 求函数的值域或最值这类数学问题的技巧性较强,且常常可以一题多解,很能体现数 学核心素养, 正如数学教育家 ・波利亚所言“智者通权达变”. 二、典型例题 例 1 (1) 已知 , 函数 的最小值是 (2) 已知关于 的函数 的定义域为 , 若存在区间 , 使得 的值域也是 , 则当 变化时, 的最大值是 (3) 已知 , 且 , 求 的最小值. (4) 若 , 且 , 求 的最大值. 【分析】 本例各小题体现了函数与方程思想在求最值问题中的应用,提供了构造方程或构造新函数解题的途径,扩展了解题思维的空间.第(1)问,若应用方程思想解题,应注意方程在区间上有实根,有一根还是两根,需要分类讨论,若转化为新函数,则可运用配方法求最值.第(2)问,可根据函数的单调性寻求定义域与值域的对应从而得出满足的方程.方程有两个相异实根,由且得出的取值范国,由韦达定理得到关于的二次函数,运用配方法求最值.第(3)问是一道在解题方法上值得多元探究的好题,下面提供得多元探究的好题，下面提供3种方法：①基本不等式法；②变量分离法；③判别式法.品味这3种解法，从中可以探索数学奥秘，理解数