第07讲 函数的奇偶性 讲义-2023届高考数学二轮复习提升微专题代数篇

第07讲 函数的奇偶性 一、知识与方法 1函数奇偶性的定义 (1)如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就叫作偶函数. (2)如果函数对于定义域内任意一个,都有,那么函数就叫作奇函数. (3)如果函数是奇函数或偶函数,那么我们就说函数是有奇偶性. 2函数奇偶性概念的阐述 （1）奇偶性的定义是判断函数奇偶性的主要方法,为了便于判断,有时需要对函数进行化简,或应用定义的变通形式,即 （2）奇函数的图像关于原点对称,并且在两个对称区间上有相同的单调性;偶函数的图像关于轴对称,并且在两个对称区间上的单调性相反. （3）函数的奇偶性是整个定义域上的性质,因此,讨论奇偶性首先要看其定义域,即函数定义域关于原点对称是这个函数成为偶函数或奇函数的必要条件. (4)由定义可得:函数的图像关于轴对称是函数是偶函数的充要条件,函数的图像关于原点对称是函数是奇函数的充要条件. (5)根据定义,函数对于定义域内某一个,有: ①若无意义或,则函数不是偶函数; ②若无意义或,则函数不是奇函数(学会举反【例】). (6)解题过程中要注意以下性质的灵活运用:(1)为偶函数; (2)若奇函数在时有意义,则. (7)若既是奇函数又是偶函数,则定义域关于原点对称且的值等于0,即. 二、典型例题 【例1】判断下列函数的奇偶性： (1) (2); (4); (6) (7) (8) 【例2】(1)为奇函数,且,求实数的值; (2)定义在上的奇函数,求实数的值; (3)已知函数是奇函数,求实数的值; (4)已知且为奇函数,求的值. 【例3】解答下列问题: (1)设是定义在上的偶函数,在区间上单调递增,且满足,求实数的取值范围; (2)设是定义在上的偶函数,当时,单调递减,若成立,求的取值范围; (3)已知函数, 求的值; (4)设定义在上的函数满足,且当时,0,求证为奇函数且在定义域内单调递减. 三、易错警示 【例】判断函数的奇偶性. 四、难题攻咯 【例】对于函数,是否存在这样的实数,使是偶函数或奇函数？ 五、强化训练 1.(1)函数,已知,求的值; （2)若函数是定义在上的偶函数,求此函数的值域. 2.已知函数和的定义域都是,而是奇函数,是偶函数. (1)判断函数的奇偶性; （2）如果,求函数和的解析式. 3.已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值,并判断的增淢性(不需证明); (2)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 函数的奇偶性 一、知识与方法 1函数奇偶性的定义 (1)如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就叫作偶函数. (2)如果函数对于定义域内任意一个,都有,那么函数就叫作奇函数. (3)如果函数是奇函数或偶函数,那么我们就说函数是有奇偶性. 2函数奇偶性概念的阐述 （1）奇偶性的定义是判断函数奇偶性的主要方法,为了便于判断,有时需要对函数进行化简,或应用定义的变通形式,即 （2）奇函数的图像关于原点对称,并且在两个对称区间上有相同的单调性;偶函数的图像关于轴对称,并且在两个对称区间上的单调性相反. （3）函数的奇偶性是整个定义域上的性质,因此,讨论奇偶性首先要看其定义域,即函数定义域关于原点对称是这个函数成为偶函数或奇函数的必要条件. (4)由定义可得:函数的图像关于轴对称是函数是偶函数的充要条件,函数的图像关于原点对称是函数是奇函数的充要条件. (5)根据定义,函数对于定义域内某一个,有: ①若无意义或,则函数不是偶函数; ②若无意义或,则函数不是奇函数(学会举反【例】). (6)解题过程中要注意以下性质的灵活运用:(1)为偶函数; (2)若奇函数在时有意义,则. (7)若既是奇函数又是偶函数,则定义域关于原点对称且的值等于0,即. 二、典型例题 【例1】判断下列函数的奇偶性： (1) (2); (4); (6) (7) (8) 【分析】 判断函数的奇偶性必须先求定义域,再运用奇偶性的定义进行判断。若函数的定义域关于原点不对称,则肯定是非奇非偶函数,在运用奇偶性的定义时常可化为等价形式,如判断奇函数,;判断偶函数,0).分段函数则需分段讨论进行判断.如函数解折式中含有参数,则需对参数进行分类讨论再进行判断.上述这种判断函数奇偶性的方法称为定义法. 【解析】 (1)由得一,而当时,. (先求定义域,再化简解析式,最后才用定义判断,这是一个重要的判断函数奇偶性的原则),此时. 故为奇函数. (2)的定义域为,而, .故为偶函数. (3)函数的定义域为的定义域关于原点对 称,当时,既是奇函数又是偶函数. (4)的定义域为的一切实数,关于原点对称. 为偶函数. （5）由于函数的定义域是. 对任意的 是奇函数. (6)定义域为,当,则; 当;当,则, 综上可得为偶函数. (7)定义