第08讲 函数的单调性 讲义-2023届高考数学二轮复习提升微专题代数篇

第08讲 函数的单调性 一、知识与方法 1函数单调性的定义 一般地,对于给定区间上的函数,如果对于任意,有; (1)当时有,那么称函数在这个区间上是增函数,区间称为函数的递增区间; (2)当时有,那么称函数在这个区间上是减函数,区间称为函数的递咸区间. 2函数单调性概念的阐述 （1）如果函数在某个区间上是增函数或减函数,那么称在这个区间上具有单调性,这个区间叫作的单调区间. （2）函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质,而单调性是函数的局部性质,单调区间不一定是函数的定义域,即可能是定义域的一个子集. （3）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同,偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. （4）复合函数的单调性特点是:同性得增,增必同性;异性得减,减为异性.定义法是判断函数单调性的最基本方法,变通法或复合函数法是判断单调性的重要方法. （5）如果函数在某个区间上是单调的,那么在这个区间的子区间上也是单调的. （6）函数增减性的几何意义:反映在图像上,若是在区间上的增函数,则图像在上的部分从左到右是上升的;2反映在图像上,若是在区间上的减函数,则图像在上的部分从左到右是下降的. （7）与函数单调性有关的问题主要有:由函数单调定义判断或证明某一函数在一个区间内的单调性;通过图像或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间;应用函数的单调性证明不等式、比较数的大小,探讨函数的最值等. 二、典型例题 【例1】(1)用定义证明函数是减函数; (2)对于(1)中的函数若变为,其中,解答下列各题： (1)若,求的值; (2)证明:当且仅当时函数在区间上为单调函数; (3)若函数在区间上是增函数,求的取值范围. 【例2】已知是定义在在的奇函数,数且,有 (1)判断在上是增函数还是减函数,并证明该结论; (2)解不等式; (3)若,且对所有的恒成立,求实数的取值范围. 【例3】（1）求下列函数的单调区间. (1) (2) (3) (4); (5). (2)已知函数,设函数,若是的一个单调区间,且在该区间恒成立,求实数的取值范围. 三、易错警示 【例】已知在上是的减函数,则的取值范围是________. 四、难题攻略 【例】设函数,其中且,区间. (1)求区间的长度（区间的长度定义为）; (2)记区间的长度为,试用函数的单调性定义证明在上单调递减,在上单调递增; (3)给定常数,当时,求区间的长度的最大值. 五、强化训练 1.已知函数. (1)试讨论函数的单调性; (2)若,且在上的最大值为,最小值为,令,求的表达式; (3)在的条件下,求证:. 2.已知集合是定义域上的单调增函数或单调减函数,集合在定义域内存在区间,使得在区间上的值域为,为常数. (1)当时,判断函数是否属于集合?并说明理由.若是,则求出区间; (2)当时,若函数,求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 函数的单调性 一、知识与方法 1函数单调性的定义 一般地,对于给定区间上的函数,如果对于任意,有; (1)当时有,那么称函数在这个区间上是增函数,区间称为函数的递增区间; (2)当时有,那么称函数在这个区间上是减函数,区间称为函数的递咸区间. 2函数单调性概念的阐述 （1）如果函数在某个区间上是增函数或减函数,那么称在这个区间上具有单调性,这个区间叫作的单调区间. （2）函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质,而单调性是函数的局部性质,单调区间不一定是函数的定义域,即可能是定义域的一个子集. （3）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同,偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. （4）复合函数的单调性特点是:同性得增,增必同性;异性得减,减为异性.定义法是判断函数单调性的最基本方法,变通法或复合函数法是判断单调性的重要方法. （5）如果函数在某个区间上是单调的,那么在这个区间的子区间上也是单调的. （6）函数增减性的几何意义:反映在图像上,若是在区间上的增函数,则图像在上的部分从左到右是上升的;2反映在图像上,若是在区间上的减函数,则图像在上的部分从左到右是下降的. （7）与函数单调性有关的问题主要有:由函数单调定义判断或证明某一函数在一个区间内的单调性;通过图像或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间;应用函数的单调性证明不等式、比较数的大小,探讨函数的最值等. 二、典型例题 【例1】(1)用定义证明函数是减函数; (2)对于(1)中的函数若变为,其中,解答下列各题： (1)若,求的值; (2)证明:当且仅当时函数在区间上为单调函数; (3)若函数在区间上是增函数,求的取值范围. 【分析】 函数单调性证明步骤通常为设元→作差→变形→判号→定论,其中最为关键的一步是变形，变