第09讲 函数的周期性 讲义-2023届高考数学二轮复习提升微专题代数篇

第09讲 函数的周期性 一、知识与方法 1.周期函数 对于函数,如果存在一个常数,使得当取定义域内的每一个值,都有,那么称函数为周期函数,称为这个函数的周期. 2.最小正周期 如果在周期函数的所有周期中存在最小的正数,那么这个最小正数就叫作的最小正周期.(并不是周期函数都有最小正周期) 3.注意点 若是的周期,则且)也一定是的周期,周期函数的定义域无上、下界. 周期性和奇偶性都具有将末知区间上的问题转化到已知区间上的功能,若是函数的周期,且已知区间的图像,则可画出区间且上的图像. 二、典型例题 【例1】已知函数对任意实数均有,且存在非零常数使. (1)求的值; (2)讨论函数的奇偶性; (3)求证:是周期函数. 【例2】已知函数对任意的都有,有. (1)试用表示及; (2)求证:是周期函数,并求出它的一个周期; (3)若,求的值. 【例3】已知以为周期的函数其中若方程恰有5个实数解,则的取值范围为( ). A. B. C. D. 三、易错警示 【例】定义在上的偶函数满足,当时,,则 （ ）. A. B. C. D. 四、难题攻略 【例】已知函数的定义域是,且,,当时,. (1)求证:是奇函数; (2)求在区间上的解析式; (3)是否存在正整数,使得当时,不等式有解?证明该结论. 五、强化训练 1.(1)定义在上的函数满足:,则. A.13 B.2 C. D. (2)已知定义在上的函数满足,且,则_____. 2.已知函数对任意的实数满足:,且当时,;当时,,求的值. 3.已知函数是定义在上的周期函数,周期,函数是奇函数,又知在上是一次函数,在上是二次函数,且在时,函数取得最小值,最小值为. (1)证明:; (2)试求的解析式; (3)试求在上的解析式. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 函数的周期性 一、知识与方法 1.周期函数 对于函数,如果存在一个常数,使得当取定义域内的每一个值,都有,那么称函数为周期函数,称为这个函数的周期. 2.最小正周期 如果在周期函数的所有周期中存在最小的正数,那么这个最小正数就叫作的最小正周期.(并不是周期函数都有最小正周期) 3.注意点 若是的周期,则且)也一定是的周期,周期函数的定义域无上、下界. 周期性和奇偶性都具有将末知区间上的问题转化到已知区间上的功能,若是函数的周期,且已知区间的图像,则可画出区间且上的图像. 二、典型例题 【例1】已知函数对任意实数均有,且存在非零常数使. (1)求的值; (2)讨论函数的奇偶性; (3)求证:是周期函数. 【分析】借助于最基本的数学模型进行思考,找到解题的突破口是一种行之有效的方法,从所给的条件等式看,似乎与某一三角公式的形式相似,这个模型函数就是,据此猜猜且是偶函数,又因为,且的一个周期为,猜测是以为周期的周期函数,可见在解题过程中应善于捕捉有益的解题信息,寻找正确的解题方向. 【解析】(1)函数对任意均有,① 令,代人①得,而. (2)令,代入①得. ∴,故是偶函数. (3)证明:∵. ∴. 从而是以为周期的周期函数. 【例2】已知函数对任意的都有,有. (1)试用表示及; (2)求证:是周期函数,并求出它的一个周期; (3)若,求的值. 【分析】本题探究抽象函数的周期性,将其与整除问题有机地结合起来,设计新颖,考查了数的整除性、函数的周期性以及求函数值等基本知识和数学归纳能力. 【解析】(1)由得,解得, 同理. (2)反复使用对应法则,由,得, ， ∴由上式可得. ∴,即,则是上的周期为6的周期函数. (3)(借助周期性简化求值),以下用数学归纳法证明能被6整除. ①当时,,显然能被6整除; ②假设时,能被6整除,则时, 也能被6整除, 由①和②得,对一切都能被6整除.∴. 而,又, ∴. 【例3】已知以为周期的函数其中若方程恰有5个实数解,则的取值范围为( ). A. B. C. D. 【分析根据周期函数的图像特征,作出f(x)的图像,将原问题转化为探讨两函数图像的交点个数问题,应当指出的是:“形”的特征给我们解题提供了直观的表述,而解答则离不开 “数”的运算,两者结合体现了一种“强劲”的解题能力和呈现“完美无缺”的解答过程. 【解析】对于方程可化为构造函数和=,问题即变为它们恰有5个交点.的周期,实质是分段函数,当时,为椭圆上半部分;当时,为;当时,为为一条过原点的直线,如图13所示,要使它们适合题意,需使与曲线有两个交点,与没有交点. 由题可知 得,, 得. 由 得, 得.而当时,两函数图像无交点,故.故选. 三、易错警示 【例】定义在上的偶函数满足,当时,,则 （ ）. A. B. C. D. 【错解】由知,为函数的一个周期. 设,则. ∴在上单调递增,又∵为偶函数,∴. ∴,即在上也