第10讲 函数性质的综合运用 讲义-2023届高考数学二轮复习提升微专题代数篇

第10讲 函数性质的综合运用 一、知识与方法 函数的性质有整体与局部之分.函数的值域、图像的对称性、奇偶性、周期性等性质是函数的整体性质,是对于定义域内任一个值都成立的性质;而函数的单调性,分段函数在某一段的解析式,则是函数的局部性质,掌握函数的整体性质与局部性质有利于我们全面、准确地把握性质. 对函数性质的研究,有利于我们把握函数所具有的规律和特征,从更深层次,全方位地把握函数,把握变量与变量之间的变化规律和制约关系;同时,掌握了函数的性质,更有利于我们分析和解决函数问题,从而使问题的解决更加顺利. 函数性质的考查通常有一定的综合性(综合定义域、单调性、奇偶性、周期性或对称性),函数的周期性与奇偶性和单调性的综合运用时,要紧扣其定义,适当赋值,进行推理和计算. 二、典型例题 【例1】定义在上的奇函数的最小正周期为,且时,. (1)求在上的解析式; (2)求在上的单调性,并给予证明; (3)求当为何值时,关于的方程在上有实数解? 【例2】已知奇函数在上有意义,且在上是增函数,,又有函数,若集合,集合. (1)求的解集; (2)求. 【例3】已知定义在上的函数的图像关于点对称,且满足则_______. 三、易错警示 【例】函数在上单调,则的取值范围是______. 四、难题攻略 【例】设数列的前项和为,对一切,点都在函数的图像上. (1)求的值,猜想的表达式,并证明该猜想. (2)设为数列的前项积,是否存在实数,使得不等式对一切都成立?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由. 五、强化训练 1.设是定义在上的奇函数,且对任意的,当时,都有,若,求实数的取值范围. 2.已知二次函数和函数. (1)若为偶函数,试判断的奇偶性; (2)若方程有两个不等的实根,则 ①证明函数在上是单调函数; ②若方程的两实根为,求使成立的的取值范围. 3.已知(其中为负整数),函数的图像经过点. (1)求函数的解析式; (2)设,问是否存在实数,使在区间上是减函数,且在区间上是增函数?证明该结论. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 函数性质的综合运用 一、知识与方法 函数的性质有整体与局部之分.函数的值域、图像的对称性、奇偶性、周期性等性质是函数的整体性质,是对于定义域内任一个值都成立的性质;而函数的单调性,分段函数在某一段的解析式,则是函数的局部性质,掌握函数的整体性质与局部性质有利于我们全面、准确地把握性质. 对函数性质的研究,有利于我们把握函数所具有的规律和特征,从更深层次,全方位地把握函数,把握变量与变量之间的变化规律和制约关系;同时,掌握了函数的性质,更有利于我们分析和解决函数问题,从而使问题的解决更加顺利. 函数性质的考查通常有一定的综合性(综合定义域、单调性、奇偶性、周期性或对称性),函数的周期性与奇偶性和单调性的综合运用时,要紧扣其定义,适当赋值,进行推理和计算. 二、典型例题 【例1】定义在上的奇函数的最小正周期为,且时,. (1)求在上的解析式; (2)求在上的单调性,并给予证明; (3)求当为何值时,关于的方程在上有实数解? 【分析】第(1)问,要求的是在区间上的解析式,而题设提供了3条信息:①是奇函数;②是周期函数且;③当时,.由此我们不难得到思路:利用条件①将条件③中的信息迁移到区间上,至此问题并未结束,还有“0与的函数值”尚未确定,的值只要利用条件①即可得(与条件③无关).的值必须利用条件①和条件②,即是奇函数且是的周期函数求得.第问,要判断在区间上的单调性并不困难,借助复合函数的单调性即可解决:因为当时,.故可令,,则可以由上述3个函数复合而成.结合上述3个函数的单调性可知,随着的增大,增大,也增大,所以减小.因此,在区间上是减函数.上述过程作为判断的单调性,结果自然是正确的,但作为证明题这样的过程显然是不够的,用求导法也并不好做,应该用定义法证明.第(3)问,欲使“关于的方程在区间上有解”,必须且只需“在的值域内",于是问题就转化为“求函数的值域”.考虎到是奇函数,故只需先求出它在区间上的取值范围再迁移到区间上,由②知在上是减函数,在上的值域不难求解,而在第(1)问中已解决,则在上的值域也就解决了. 【解析】(1)∵是定义在上的奇函数,∴. 设,则. 时, ∵的最小正周期为. ∴,即. 因此的解析式为: (2)设. ， 又,即 ∴在上是减函数. (3)∵在上是减函数,∴. 当时,. 即. 又时, ∴在上的值域为. 由于在上要有实数解,因此的取值范围是. 【例2】已知奇函数在上有意义,且在上是增函数,,又有函数,若集合,集合. (1)求的解集; (2)求. 【分析】本题是函数与三角知识的综合,涉及解不等式,集合的运算、余弦函数的有界性、基本不等式的应用,求不等式的解集时应用好题设中为奇函数且在上是增函数