第11讲 函数图像变换与图像法解题 讲义-2023届高考数学二轮复习提升微专题代数篇

第11讲 函数图像变换与图像法解题 一、知识与方法 1.函数的图像 设函数的定义域为,则在直角坐标系内点集叫作函数的图像(直线与函数的图像最多只有一个交点). 函数图像形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具,所以应当熟练掌握画函数图像的一般步骤,重视数形结合的思想方法. 2.函数图像的3种基本变换 (1)平移变换. 1)将函数的图像向左平移个单位,得到函数的图像; 2）将函数的图像向右平移个单位,得到函数的图像； 3)将函数的图像向上平移个单位,得到函数的图像; 4）将函数的图像向下平移个单位,得到函数的图像. (2)对称变换. 1)与的图像关于轴对称; 2)与的图像关于轴对称; 3)与的图像关于原点对称; 4)与的图像关于直线对称; 5)的图像:可将的图像在轴下方的部分关于轴翻转,其余部分 不变; 6)的图像:可先作出的图像,再利用偶函数的图像关于轴对称,作出的图像. （3）伸缩变换. 1)的图像:可将的图像上所有点的纵坐标变为原来的倍,横坐标不变而得到; 2)的图像:可将的图像上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变而得到; 3）函数图像的伸缩变换可结合三角函数中的图像变换(周期与振幅)加以理解和掌握. 3.对称问题知识深化 (1)若对任意满足,则的图像关于直线对称,等价形式:等. (2)若对任意满足,则的图像关于直线对称. 二、典型例题 【例1】设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,的周期为的周期为2,且是奇函数,当时, 其中 若在区间[0,9]上,关于的方程有8个不同的实数根,则的取值范围是_________. 【例2】设若函数y=f(x)－恰有3个零点,则（ ）. A. B. C. D. 【例3】已知函数设,若关于的不等式在上恒成立,则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、易错警示 【例】已知方程有且只有一根在区间内,求的取值范围. 四、难题攻略 【例】已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间]上有10个零点(互不相同)，则实数的取值范围是________． 五、强化训练 1．已知函数，若对于任意都有，则实数的取值范围是________． 2．设函数则满足的的取值范围是________． 3．已知函数其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 函数图像变换与图像法解题 一、知识与方法 1.函数的图像 设函数的定义域为,则在直角坐标系内点集叫作函数的图像(直线与函数的图像最多只有一个交点). 函数图像形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具,所以应当熟练掌握画函数图像的一般步骤,重视数形结合的思想方法. 2.函数图像的3种基本变换 (1)平移变换. 1)将函数的图像向左平移个单位,得到函数的图像; 2）将函数的图像向右平移个单位,得到函数的图像； 3)将函数的图像向上平移个单位,得到函数的图像; 4）将函数的图像向下平移个单位,得到函数的图像. (2)对称变换. 1)与的图像关于轴对称; 2)与的图像关于轴对称; 3)与的图像关于原点对称; 4)与的图像关于直线对称; 5)的图像:可将的图像在轴下方的部分关于轴翻转,其余部分 不变; 6)的图像:可先作出的图像,再利用偶函数的图像关于轴对称,作出的图像. （3）伸缩变换. 1)的图像:可将的图像上所有点的纵坐标变为原来的倍,横坐标不变而得到; 2)的图像:可将的图像上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变而得到; 3）函数图像的伸缩变换可结合三角函数中的图像变换(周期与振幅)加以理解和掌握. 3.对称问题知识深化 (1)若对任意满足,则的图像关于直线对称,等价形式:等. (2)若对任意满足,则的图像关于直线对称. 二、典型例题 【例1】设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,的周期为的周期为2,且是奇函数,当时, 其中 若在区间[0,9]上,关于的方程有8个不同的实数根,则的取值范围是_________. 【分析】本题考查函数的图像与性质,函数与方程的思想方法、直线与圆的位置关系,解题的突破点是数形结合思想的灵活应用. 【解析】当时,即(x-1)2+y2=1,y≥0,即函数表示以为圆心,1为半径在轴上方部分的半圆,又是奇函数,且周期为4,可画出函数在上的图像,再在同一坐标系中作出函数在.上的图像(如图1-14所示). 关于的方程在上有8个不同的实数根,即两个函数的图像在上有8个不同的交点,则函数与在的图像有2个不同的交点,当直线经过 点时,,当直线与半圆相切时, . 解得(舍负),所以的取值范围是.