第12讲 指数函数的常见题型 讲义-2023届高考数学二轮复习提升微专题代数篇

第12讲 指数函数的常见题型 一、知识与方法 1．有理数指数幂的运算法则 数学表达式 文字语言叙述 同底数的幂相乘，底数不变，指数相加 或 同底数的幂相除，底数不变，指数相减 幂的乘方，底数不变，幂指数与乘方次数相乘 积的乘方，各个因式分别乘方再相乘 分式乘方,分子乘方所得的幂作分子,分母乘方所得的幂作分母 2．指数函数的定义 形如的函数叫作指数函数． 3．指数函数的图像与性质 　 图像 性质 定义域 值域 恒过定点 恒过定点，即当时， 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化规律 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 二、典型例题 【例1】 (1)已知指数函数在区间上的最大值与最小值的差是1，则实数的值为_______； (2)已知．当时，则的大小关系是______； (3)若函数在区间上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是_______． 【例2】(1)求函数的值域； (2)求函数的值域； (3)求函数的最大值； (4)求函数的单调区间和值域； (5)讨论的值域． 【例3】设函数是定义域为的奇函数． (1)求的值，并判断的单调性； (2)解不等式； (3)设在上的最小值为，求实数的值． 三、易错警示 【例】设，且，若函数在上的最大值是14，求的值． 四、难题攻略 【例】已知函数．函数的最小值为． (1)求； (2)是否存在实数，同时满足以下条件：①；②当的定义域为时，值域为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 五、强化训练 1．定义域为的函数是奇函数． (1)求的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 2．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．已知函数 (1)当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由； (2)若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围； (3)若，求函数在上的上界的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 指数函数的常见题型 一、知识与方法 1．有理数指数幂的运算法则 数学表达式 文字语言叙述 同底数的幂相乘，底数不变，指数相加 或 同底数的幂相除，底数不变，指数相减 幂的乘方，底数不变，幂指数与乘方次数相乘 积的乘方，各个因式分别乘方再相乘 分式乘方,分子乘方所得的幂作分子,分母乘方所得的幂作分母 2．指数函数的定义 形如的函数叫作指数函数． 3．指数函数的图像与性质 　 图像 性质 定义域 值域 恒过定点 恒过定点，即当时， 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化规律 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 二、典型例题 【例1】 (1)已知指数函数在区间上的最大值与最小值的差是1，则实数的值为_______； (2)已知．当时，则的大小关系是______； (3)若函数在区间上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是_______． 【分析】 第(1)问，先根据指数函数的单调性，用表示出函数在区间[上的最大值与最小值，再根据条件建立关于的方程，最后解方程求得的值；第(2)问，必须掌握时随着的增大指数函数的图像是如何变化的；第(3)问，整体为元，将问题进行转化后依函数的单调性进行处理，若含有参数则要进行必要的分类讨论． 【解析】 (1)若，则函数在区间上是增函数，，由题设知，解得． 若，则函数在区间上是减函数，．由题设知，解得，∵．综上，得． (2)如图1-19所示．当时，有．即． (3)令，则原函数化为．且在上是递增的． 当时，．故． 当时，．故． 综上所述，在上的最小值为． 【例2】(1)求函数的值域； (2)求函数的值域； (3)求函数的最大值； (4)求函数的单调区间和值域； (5)讨论的值域． 【分析】 本例除第问外，都是指数函数与二次函数的复合．指数函数的单调性由底数的取值确定，二次函数的单调性由对称轴划分，复合函数性质的研究，两者必须统筹考虑，在求解第(5)小题时，若运用换元法，设，则必须充分注意． 【解析】 (1)设． ，当时，，当时，． ∴的值域为． (2)令得，解得或． ∴函数的定义域为或． 且且． ∴函数的值域为且． (3)设，当时，．又在上是减函数， ∴当取最小值时，取最大值，即当时，取最大值，其值为． (4)设． ∵是上的减函数，又是上的减函数，∴是上的增函数．即的增区间为，同理可得的增区间是． 可得的最大值是函数的值域为． (5)令，则．