第13讲 反函数的概念题型与解题策略 讲义-2023届高考数学二轮复习提升微专题代数篇

第13讲 反函数的概念题型与解题策略 一、知识与方法 1．反函数的定义 对于函数，设它的定义域为，值域为，对应法则为，若对于每一个，都有唯一的满足．则这样的对应也构成一个函数，称为原来函数的反函数，记作．习惯上，自变量常用表示，因变量常用表示，所以我们对调反函数式中的，把它改写成． 2．求函数的反函数的基本步骤 (1)由解出，得； (2)将互换得； (3)由原函数的值域写出反函数的定义域． 若与互为反函数，则①的定义域和值域分别为的值域和定义域；②和的对应法则互递；③和的图像关于直线对称． 3．原函数与反函数的“交叉关系” 原函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量互换、定义域与值域互换，应特别注意以下两点． (1)，但 (2)函数的反函数是，而不是． 4．对反函数概念的进一步阐述 (1)不是每个函数都有反函数，由定义可知，对每个都能从中解出唯一的(与之对应)，这样的函数存在反函数； (2)单调函数具有反函数，且可以证明其反函数的单调性与原来函数的单调性一致． 二、典型例题 【例1】(1)若，则________． (2)函数的图像关于对称，则的值为________． (3)设是函数的反函数，则成立的的取值范围是________． (4)与互为反函数，则的值依次为________． 【例2】(1)已知函数，求； (2)已知函数的图像经过点，函数的图像经过点，试求函数的表达式； (3)已知函数与函数的图像关于直线对称，又函数与互为反函数，求的值； (4)判断函数是否有反函数，如果有，求出反函数，否则说明理由． 【例3】为研究“原函数图像与其反函数图像的交点是否在定直线上”这一课题，可以分3步进行研究： (1)首先选取如下函数：．求出以上函数图像与其反函数图像的交点坐标： 与其反函数的交点坐标为． 与其反函数的交点坐标为． 与其反函数的交点坐标为， (2)观察分析上述结果得到研究结论． (3)对得到的结论进行证明，现在请完成(2)和(3)． 三、易错警示 【例】已知，若函数的图像与的图像关于直线对称，求(3)的值． 四、难题攻略 【例】已知函数． (1)求的反函数； (2)如果不等式对于上的每一个的值都成立，求实数的取值范围； (3)设，求函数的最小值及相应的的值． 五、强化训练 1．在上的递减函数满足：当且仅当时，函数值的集合为，且，又对中的任意，都有． (1)判断和是否都是中的元素，并说明理由． (2)若表示在上的反函数，则是否具有这样的性质：?并说明理由． (3)不等式是否有解?如有，求出解集；如没有解，说明理由． 2．设． (1)试判断函数的单调性，并用函数单调性的定义，给出证明； (2)若的反函数为，证明：对任意的自然数都有； (3)若的反函数为，证明：方程有唯一解． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 反函数的概念题型与解题策略 一、知识与方法 1．反函数的定义 对于函数，设它的定义域为，值域为，对应法则为，若对于每一个，都有唯一的满足．则这样的对应也构成一个函数，称为原来函数的反函数，记作．习惯上，自变量常用表示，因变量常用表示，所以我们对调反函数式中的，把它改写成． 2．求函数的反函数的基本步骤 (1)由解出，得； (2)将互换得； (3)由原函数的值域写出反函数的定义域． 若与互为反函数，则①的定义域和值域分别为的值域和定义域；②和的对应法则互递；③和的图像关于直线对称． 3．原函数与反函数的“交叉关系” 原函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量互换、定义域与值域互换，应特别注意以下两点． (1)，但 (2)函数的反函数是，而不是． 4．对反函数概念的进一步阐述 (1)不是每个函数都有反函数，由定义可知，对每个都能从中解出唯一的(与之对应)，这样的函数存在反函数； (2)单调函数具有反函数，且可以证明其反函数的单调性与原来函数的单调性一致． 二、典型例题 【例1】(1)若，则________． (2)函数的图像关于对称，则的值为________． (3)设是函数的反函数，则成立的的取值范围是________． (4)与互为反函数，则的值依次为________． 【分析】 解决反函数问题要特别注意利用原函数和反函数之问的关系．概念清晰非常重要，可以大大减少解题时的运算量． 【解析】 (1)设，则，即．即． (2)一个函数的图像关于直线对称，则这个函数的反函数就是原函数，利用待定系数法可求出的值． 由得． 设． 由题知：，即． (3)【解法一】 由得． ∴(负值舍去)， ∴，即． 由得，解得． 【解法二】 ∵为增函数且值域为， ∴，即．即． (4)∵的定义域为，值域为，的定义域为，值域，∴． 在上取一点，则点在上，∴．解方程得，故的值分别为． 【例2】(1)已知函数，求； (2)已知函数的图像