第14讲 对数、对数函数的常见题型 讲义-2023届高考数学二轮复习提升微专题代数篇

第14讲 对数、对数函数的常见题型 一、知识与方法 1．对数定义 如果且的次幂等于，就是，那么叫作以为底的对数， 记作，其中叫作对数的底数，叫作真数． 常用对数：以10为底的对数叫作常用对数，通常写成的形式． 自然对数：以无理数为底的对数叫作自然对数，通常写成的形式． 2．对数恒等式 且． 3．对数的性质 (1)负数和零没有对数； (2)1的对数是零，即； (3)真数等于底数的对数为1，即． 4．对数的换底公式 5．对数的运的性质 如果且，那么有： (1) (2)； (3) (4)； (5) 6．对数函数的定义 形如的函数叫作对数函数． 7．对数函数的图像与性质 　 图像 性质 定义域 值域 恒过定点 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化规律 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 二、典型例题 【例1】 (1)计算下列各题． ①；②； ③；④； (2)设，试用表示出； (3)已知，求的值； (4)若，求的值． 【例2】（1）已知函数的定义域是，值域是，求实数的值． （2）已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围． （3）定义域、值域均为的函数是否存在？若存在，请求出一个的值；若不存在，请说明理由． （4）函数在上恒为正数，求的取值范围． 【例3】已知函数．函数的图像与函数的图像关于直线对称． （1）求的解析式； （2）讨论在内的单调性，并加以证明； （3）令，当时，在上的值域是，求的取值范围． 三、易错警示 【例】若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围． 四、难题攻略 【例】已知函数． （1）当时，求函数的值域； （2）如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 五、强化训练 1．已知集合，函数的定义域为． （1）若，求实数的取值范围； （2）若方程在内有解，求实数的取值范围． 2．已知． （1）若，求的定义域； （2）若，判断函数的单调性，并用单调性的定义证明； （3）若在上恒成立，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 对数、对数函数的常见题型 一、知识与方法 1．对数定义 如果且的次幂等于，就是，那么叫作以为底的对数， 记作，其中叫作对数的底数，叫作真数． 常用对数：以10为底的对数叫作常用对数，通常写成的形式． 自然对数：以无理数为底的对数叫作自然对数，通常写成的形式． 2．对数恒等式 且． 3．对数的性质 (1)负数和零没有对数； (2)1的对数是零，即； (3)真数等于底数的对数为1，即． 4．对数的换底公式 5．对数的运的性质 如果且，那么有： (1) (2)； (3) (4)； (5) 6．对数函数的定义 形如的函数叫作对数函数． 7．对数函数的图像与性质 　 图像 性质 定义域 值域 恒过定点 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化规律 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 二、典型例题 【例1】 (1)计算下列各题． ①；②； ③；④； (2)设，试用表示出； (3)已知，求的值； (4)若，求的值． 【分析】 第(1)问的四小题，应热练运用对数运算的法则和对数恒等式．第(2)问，注意到都能表示为的某种乘积的形式，从而运用对数换底公式后可以用来表示，把也用和表示出来后即能达到解题目标．第(3)问，运用换底公式的变形公式，把对数的底数换成数字较小的正整数即可求解．第(4)问，把已知条件化为对数，即求出，再把化为以12为底的对数，最后运用对数恒等式求值． 【解析】 (1)①原式 ． ②原式． ③原式． ④原式． (2)由已知得． ，即． (3)原式化为即 解方程组得解得 (4) ． 【例2】（1）已知函数的定义域是，值域是，求实数的值． （2）已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围． （3）定义域、值域均为的函数是否存在？若存在，请求出一个的值；若不存在，请说明理由． （4）函数在上恒为正数，求的取值范围． 【分析】 第（1）问，利用定义域与值域的关系，考虑复合函数单调性结论，由端点值的对应关系列出关于实数的一个方程组，解之即得，求解过程中必须注意隐含条件：一个函数指定的定义域一定是使得这一函数有意义的取值集合的一个子集．第（2）问，可以分和两种情况讨论，且使在区间[2，4]上恒大于零．第（3）问，是二次函数与对数函数的复合问题，定义域为，真数大于零对恒成立，值域为，则真数应取遍内所有值，探究是否能找到的值使上述两个要求同时达到．第（4）问，探究当时恒有，转化为含参数不等式恒成立问题的一般解法，即通过参变分离化归为新函数的最值问题． 【解析】 （1）由得或