第15讲 指数方程和对数方程的解法 讲义-2023届高考数学二轮复习提升微专题代数篇

第15讲 指数方程和对数方程的解法 一、知识与方法 指数方程和对数方程属于超越方程，求解的基本思路是化为代数方程． 1．指数方程的解法 在指数里面含有未知数的方程叫作指数方程．指数方程大体上有4种题型． （1）且），两边取对数求解． （2）且，化为求解． （3），两边取对数，转化为求解． （4），令后转化为求解． 2．对数方程的解法 在对数里含有未知数的方程叫作对数方程，对数方程大体上有3种题型． （1）且，化为求解． （2）形如的方程如，令后转化为求解． （3）形如的方程，化为指数式求解， 二、典型例题 【例1】解下列指数方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【例2】解下列对数方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【例3】（1）解关于的方程：； （2）当实数取何值时，方程有1个实数解、2个实数解、没有实数解? 三、易错警示 【例】若方程有唯一解，求实数的取值范围． 四、难题攻略 【例】（1）若关于的方程有解，求实数的取值范围； （2）设关于的方程在区间内有解，求实数的取值范围； （3）已知关于的方程有一个根是2，求的值和方程其余的根； （4）已知方程有两个大于1的解，求实数的取值范围． 五、强化训练 1．（1）设关于的方程． ①若方程有实数解，求实数的取值范围； ②当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解． （2）已知方程且）的较大一个根在区间内，求实数的取值范围． 2．已知函数． （1）若函数是奇函数，求实数的值； （2）在（1）的条件下，试判断函数与函数的图像的公共点个数，并说明理由； （3）若当时，函数的图像始终在函数的图像的上方，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 指数方程和对数方程的解法 一、知识与方法 指数方程和对数方程属于超越方程，求解的基本思路是化为代数方程． 1．指数方程的解法 在指数里面含有未知数的方程叫作指数方程．指数方程大体上有4种题型． （1）且），两边取对数求解． （2）且，化为求解． （3），两边取对数，转化为求解． （4），令后转化为求解． 2．对数方程的解法 在对数里含有未知数的方程叫作对数方程，对数方程大体上有3种题型． （1）且，化为求解． （2）形如的方程如，令后转化为求解． （3）形如的方程，化为指数式求解， 二、典型例题 【例1】解下列指数方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】 第（1）问，可化为同底求解；第（2）问，换元法结合两边取对数法；第（3）问，注意到3个幂的底数之间的关系，只要把方程的两边同除以，就可以借助换元法转化为一元二次方程来解；第（4）问，整理后可设，转化为的一元二次方程，求的值，进而求的值． 【解析】 （1）方程两边同除以得．解得． ∴原方程的解集为． （2）设，则原方程化为，分解因式得，解得或（舍），∴．两边取常用对数得， ∴或， ∴原方程的解集为． （3）∵原方程的两边同除以，得，即， 设，则可得． 即，解之得（舍）或，即． ∴原方程的解集为． （4）原方程化为，即． 设，则，解之，得或． 代入得或，解之得或， ∴原不等式的解集为． 【例2】解下列对数方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】 第（1）、第（2）问化同底，第（3）、第（4）问换底后转化为一元二次方程形式．解对数方程的过程中经常会产生增根，所以一定要注意验根． 【解析】 （1）原方程转化为 解方程得或（舍），∴原方程的解集为． （2）原方程转化为． 即或，解之得或． 经检验是原方程的增根，∴原方程解集为． （3）由换底公式得．即， 或，解之，得或． ∴原方程的解集为． （4）， ∴．代之原方程得． ∴或（舍去）．． ∴原方程的解集为． 【例3】（1）解关于的方程：； （2）当实数取何值时，方程有1个实数解、2个实数解、没有实数解? 【分析】 第（1）问，既要注意对参数的分类讨论，又不能违背“定义域优先”原则．第（2）问，是一道含参数方程根的个数的讨论，属于经典例题，可以运用代数的方法解．也可以运用数形结合的方法解；解法二是数形结合的一种解法，若原方程化为，再令，可得数形结合的另一种解法． 【解析】 （1）原方程等价于当时，方程无解； 当时，方程也无解；当时，需满足，解得． ∴当时方程无解；当时，方程的解为． （2） 【解法一】 原方程可化为：． 即，令，由题意可知． 原方程有一个解等价于：或 解上述不等式或不等式组可得，或．经检验不符合题意， ∴当或时，原方程只有一个解． 原方程有两个解等价于：解此不等式组可得 ∴当时，原方程有两个解． 由和可知，当或时，原方程没有实数解． 【解法二】 原方程可化为：． 即． 令 分别作出上述两个函数的图像如图所示．根据图像交点个数即可得与解法一同样的结论． 三、易错