第16讲 探究函数y=x+a/x的图像与性质及其应用 讲义-2023届高考数学二轮复习提升微专题代数篇

第16讲 探究函数的图像与性质及其应用 一、知识与方法 函数也称为“耐克”函数或“对勾”函数，解决“耐克”函数的最值问题通常利用基本不等式，但特别要注意基本不等式中等号成立的条件，如若等号不能成立时，可通过判断函数的单调性解决函数的最值问题．解题中还要优先确定函数的定义域，在定义域范围内对函数的性态进行讨论． 1．时，函数的图像与性质如图所示． （1）定义域：． （2）值域：． （3）奇函数． （4）单调递减区间：；单调递增区间：．当时，；当时，； 2．时，函数的图像与性质如图 所示． （1）定义域：． （2）值域：． （3）奇函数． （4）单调递减区间．无极大值也无极小值． 二、典型例题 【例1】已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）若对任意恒成立，试求实数的取值范围； （3）当时，的值域是，试求实数的值． 【例2】已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． （1）如果函数的值域为，求的值； （2）如果函数在定义域内具有单调性，请说明理由； （3）对函数和作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只需写出结论，不必证明），并求函数（是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）． 【例3】设为实数，函数 （1）若，求的取值范围； （2）当时，求证：在上是单调递增函数； （3）若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围． 三、易错警示 【例】已知，若，求的范围． 四、难题攻略 【例】某著名保健品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2019年进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，保健品的年销量万件与年促销费用万元之间满足与成反比．如果不搞促销活动，保健品的年销量只能是1万件．已知2019年生产保健品的固定费用为5万元，每生产1万件保健品需要再投用40万元的生产费用，若将每件保健品的售价定为“其生产成本的”与“平均每件促销费用的”之和，则当年生产的保健品正好销完． （1）将2019年的年利润万元）表示为年促销费用（万元）的函数； （2）该企业2019年的年促销费用投用多少万元时，企业的年利润最大? （注：利润＝销售收用生产成本促销费用，生产成本固定费用＋生产费用．） 五、强化训练 1．已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得最小值，设函数． （1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值； （2）如何取值时，函数存在零点?并求出零点． 2．如图所示，是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤，线段和曲线分别是湖泊中的一条栈桥和防破堤．为观光旅游需要，拟过栈桥上某点分别修建与平行的栈桥，是以为边建一个跨越水面的三角形观光平台，建立如图所示的直角坐标系．测得的方程是，曲线的方程是，设点的坐标为．（题中所涉及长度单位均为，栈桥及防破堤都不计宽度） （1）求三角形观光平台面积的最小值； （2）若要使的面积不小于，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 探究函数的图像与性质及其应用 一、知识与方法 函数也称为“耐克”函数或“对勾”函数，解决“耐克”函数的最值问题通常利用基本不等式，但特别要注意基本不等式中等号成立的条件，如若等号不能成立时，可通过判断函数的单调性解决函数的最值问题．解题中还要优先确定函数的定义域，在定义域范围内对函数的性态进行讨论． 1．时，函数的图像与性质如图所示． （1）定义域：． （2）值域：． （3）奇函数． （4）单调递减区间：；单调递增区间：．当时，；当时，； 2．时，函数的图像与性质如图 所示． （1）定义域：． （2）值域：． （3）奇函数． （4）单调递减区间．无极大值也无极小值． 二、典型例题 【例1】已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）若对任意恒成立，试求实数的取值范围； （3）当时，的值域是，试求实数的值． 【分析】 第（1）问，把代入并把原函数变形得，显然是“耐克”函数类型，表面上看可以出现积为定值的情况，但在时等号不成立，所以不能使用基本不等式求的最小值，而必须研究函数在区间上的单调性确定函数的最值．这种方法称为单调性法．第（2）问，可运用多种方法，分别从函数最值的角度、分离参变量的角度处理不等式的恒成立问题，这是处理不等式的恒成立问题中最常见的两个角度，需要指出的是，在分离参变量时用到了以下重要结论：恒成立等价于恒成立等价于，本题的疑难在第（2）问与第（3）问之间．第（2）问，对任意恒成立．第（3）问，当时的值域是，似乎只相差一个等号，是不是在求得第（2）问的取值范围后加上“等号”即可，如果这样来理解本题，把函数的值域问题与恒成立问题混淆了．若第（3）问改为“已知，对任意恒成立，求实数的取值范围”．则第（3）问沿用第（2）问的解法是可以的．这是因为若对任意，都满足恒成立，其内在的意思是对的最小值不