第17讲 函数的切线问题，导函数的几何意义 讲义-2023届高考数学二轮复习提升微专题代数篇

第17讲 函数的切线问题，导函数的几何意义 一、知识与方法 设函数的图像如图2-1所示． 是过点与点的一条割线．由此割线的斜率是． 可知曲线割线的斜率就是曲线的平均变化率．当点沿曲线趋近于点时，割线绕点转动，它的最终位置为直线，这条直线叫作此曲线在点的切线．于是，当时，割线的斜率趋近于在点的切线的斜率．即切线的斜率． 由导数意义可知，曲线在点的切线的斜率等于．即导数的几何意义是曲线的切线的斜率．若表示这条切线与轴正向的夹角，则． 二、典型例题 【例1】已知抛物线和，如果直线同时是和的切线，称是和的公切线，求公切线的方程． 【例2】（1）已知曲线，直线，且与曲线相切于点．求直线的方程和切点坐标； （2）已知曲线． ①求曲线在点处的切线方程； ②求曲线过点的切线方程． 【例3】已知是二次函数，是它的导函数．且对任意的，恒成立． （1）求的解析式； （2）设，曲线在点处的切线为，与坐标轴围成的三角形面积为，求的最小值． 三、易错警示 【例】求曲线过点的切线方程． 四、难题攻略 【例】已知函数，记的图像为曲线． （1）求证：若以曲线上的任意一点为切点作的切线，则切线的斜率存在最小值； （2）求证：以曲线上的两个动点为切点分别作的切线，若恒成立，则动直线恒过某定点； （3）在（2）条件下，当直线的斜率时，求的面积（其中是坐标原点）． 五、强化训练 1．已知函数在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）求证：对于区间上任意两个自变量的值都有； （3）若过点可作曲线的条切线，求实数的取值范围． 2．已知函数的图像为曲线． （1）求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围； （2）若曲线上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围； （3）试问：是否存在一条直线与曲线同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 函数的切线问题，导函数的几何意义 一、知识与方法 设函数的图像如图2-1所示． 是过点与点的一条割线．由此割线的斜率是． 可知曲线割线的斜率就是曲线的平均变化率．当点沿曲线趋近于点时，割线绕点转动，它的最终位置为直线，这条直线叫作此曲线在点的切线．于是，当时，割线的斜率趋近于在点的切线的斜率．即切线的斜率． 由导数意义可知，曲线在点的切线的斜率等于．即导数的几何意义是曲线的切线的斜率．若表示这条切线与轴正向的夹角，则． 二、典型例题 【例1】已知抛物线和，如果直线同时是和的切线，称是和的公切线，求公切线的方程． 【分析】 两条曲线的公切线是指有一条直线同时是这两条曲线的切线，但是切点不一定重合，特殊的情况是两曲线在交点处有公共的切线．本题的求解，分别设出两个切点的坐标，利用导数分别表示出斜率．进而写出切线的方程，两曲线有公切线，也就是两条切线重合，建立关系，求出参数，得出方程． 【解析】 由得，则曲线在点处的切线方程是，即．① 由得，则曲线在点处的切线方程是，即，② ∵是和的公切线，则①②表示的是同一条直线． ∴消去得，解得． 即点重合，两曲线有且仅有一条公切线，方程为． 【例2】（1）已知曲线，直线，且与曲线相切于点．求直线的方程和切点坐标； （2）已知曲线． ①求曲线在点处的切线方程； ②求曲线过点的切线方程． 【分析】 第（1）问，利用切线的梌率即为函数在处的导数值，再用点斜式方程即可求解．第（2）问，”该曲线上过点的切线”与“该曲线上点处的切线”是有区别的．过点的切线中，点不一定是切点；在点处的切线中，点是切点． 【解析】（1）由已知，又直线过原点， ∴，且点的坐标满足方程． ∴，即，由解得． ∴，． ∴切点的坐标为，切线的斜率为，直线的方程为． （2）①所求切线的斜率为，故所求的切线方程为，即； ②设曲线与过点的切线相切于点， 则切线的斜率，切线方程为， ∵点在切线上，∴，解得或， 故所求的切线方程为：或． 【例3】已知是二次函数，是它的导函数．且对任意的，恒成立． （1）求的解析式； （2）设，曲线在点处的切线为，与坐标轴围成的三角形面积为，求的最小值． 【分析】 第（1）问，由所给出的恒等式，运用待定系数法求出系数，确定的解析式；第（2）问，由导数求出在点处的切线的斜率从而得到切线方程，易得关于的解析式，通过导函数的符号确定原函数的单调性，求出最值． 【解析】 （1）设（其中），则． ． 由已知，得． ∴解之得∴． （2）由（1）得，，切线的斜率． ∴切线的方程为，即． 从而与轴交点为，与轴的交点为． ∴（其中）．∴， 当时，是减函数；当时，，是增函数． ∴． 三、易错警示 【例】求曲线过点的切线方程． 【错解】 ∵点在曲线上，又，∴． ∴过点的切线方程为，即． 【分析】 利用导数求切线方程时一定要注意“过某点