第18讲 应用导数探究函数的单调性 讲义-2023届高考数学二轮复习提升微专题代数篇

第18讲 应用导数探究函数的单调性 一、知识与方法 1 用导数研究函数的单调性 设函数在区间内可导，如果在内，那么在内是增函数；如果在内，那么在内是减函数；如果在内恒有，那么在内为常数函数． 若，则点称为函数的驻点． 2 函数单调性的进一步阐述 （1）若函数在区间上单调，则在该区间上不变号． （2）若在某区间上有限个点使，在其余的点恒有，则仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内是在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件． 3 导数在函数单调性研究上的3种题型 （1）利用导数判断函数的单调性． （2）利用导数求函数的单调区间． （3）已知函数的单调性，求参数的范围． 二、典型例题 【例1】已知函数，求函数的单调区间． 【例2】设函数在处取得极值，试用表示和，并求的单调区间． 【例3】已知函数． （1）讨论的单调性； （2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由． 三、易错警示 【例】函数在区间上是增函数，求实数的取值范围． 四、难题攻略 【例】若函数在同上恒有成立（其中为的导函数），则称这类函数为类函数． （1）若函数，试判断是否为类函数； （2）若函数是类函数，求函数的单调区间； （3）若函数是类函数，当时，证明 五、强化训练 1．已知是实数，函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最小值． 2．已知是实数．函数，和分别是和的导函数，若在区间上恒成立，则称和在区间上单调性一致． （1）设，若和在区间上单调性一致，求的取值范围； （2）设，且，若和在以为端点的开区间上单调性一致，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 应用导数探究函数的单调性 一、知识与方法 1 用导数研究函数的单调性 设函数在区间内可导，如果在内，那么在内是增函数；如果在内，那么在内是减函数；如果在内恒有，那么在内为常数函数． 若，则点称为函数的驻点． 2 函数单调性的进一步阐述 （1）若函数在区间上单调，则在该区间上不变号． （2）若在某区间上有限个点使，在其余的点恒有，则仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内是在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件． 3 导数在函数单调性研究上的3种题型 （1）利用导数判断函数的单调性． （2）利用导数求函数的单调区间． （3）已知函数的单调性，求参数的范围． 二、典型例题 【例1】已知函数，求函数的单调区间． 【分析】 函数的单调性与函数的导数密切相关．运用导数知识来讨论函数单调性时，结合导数的几何意义，只需考虑的正负即可，而本题含有字母参数，显然，本题的定义域为，，为了判定符号，必须讨论与及的大小，分类讨论是解答本题的关键． 【解析】 已知函数的定义域是，． ①若，则，在上恒成立， ∴当时，的增区间为． ②若，则，故当时，；当时，， ∴当时，的增区间为，的增区间为． 【例2】设函数在处取得极值，试用表示和，并求的单调区间． 【分析】 求导后运用待定系数法得和用表示，并对分类讨论求的单调区间． 【解析】依题意有，．而． 故解得 从而． 令，得或． 由于在处取得极值，故，即， ①若，即．则当时，；当时，；当时，． 从而的单调增区间为，；单调减区间为． ②若，即时，同上可得的单调增区间为，；单调减区间为． 【例3】已知函数． （1）讨论的单调性； （2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由． 【分析】 第（1）问，先对函数求导，再结合的取值范围分类讨论得出函数的单调性；第（2）问，利用的取值范围，结合函数的单调性求解． 【解析】 （1）．令，得或． 若，则当时，；当时，． 故在单调递增，在单调递减； 若，在单调递增； 若，则当时，；当时，． 故在单调递增，在单调递减． （2）满足题设条件的存在． ①当时，由（1）知，在单调递增， 所以在区间的最小值为，最大值为． 此时满足题设条件当且仅当，即． ②当时，由（1）知，在单调递减， 所以，在区间的最大值为，最小值为． 此时，满足题设条件当且仅当，即． ③当时，由（1）可知在的最小值为， 最大值为或．若，则与矛盾． 若，则或或，与矛盾． 综上，当且仅当或时，在的最小值为，最大值为． 三、易错警示 【例】 函数在区间上是增函数，求实数的取值范围． 【错解】 函数的导数，由题意可知在上恒成立，所以解得，所以的取值范围是． 【分析】 上述解法是错误的，因为“导函数在区间上大于零”是“函数在区间上是增函数”的充分不必要条件，比如函数在上是增函数，但在上恒成立，而不是．由函数在区间上为增函数（减函数），求参数范围时，首先由（或）在上恒成立求出参数的范围，再验证时的参数值是否满足在任一子区间上不恒为零．若不恒为零则保留，否则舍去． 【解析