第19讲 函数的零点问题 讲义-2023届高考数学二轮复习提升微专题代数篇

第19讲 函数的零点问题 一、知识与方法 1 函数零点的定义 若实数是函数的零点，则需满足条件．有3个等价关系，如下： 2 函数零点的存在性定理 条件 结论 函数在上 ①图像上是连续不断的 在内有零点 ② 3 用二分法求方程的近似解 对于在区间上连续不断，且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫作“二分法”．二分法只能解决函数的变号零点，对于不变号零点它是无能为力的．因此要求用二分法求方程近似解的问题，把这个方程函数化后，这个函数一定有变号零点． 二、典型例题 【例1】已知函数若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为 ． 【例2】已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围． 【例3】设． （1）证明：方程在区间内有实数解； （2）使用二分法，取区间的中点3次，指出方程的实数解在哪个较小的区间内． 三、易错警示 【例】已知方程有两个实数解，求实数的取值范围． 四、难题攻略 【例】已知函数．为的导数，证明： （1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 五、强化训练 1．已知函数满足，当时，，则函数在上零点的个数为 ． 2．关于的方程．给出下列4个命题： ①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根． 其中的真命题是 ． 3．设函数，其中． （1）若，讨论的单调性； （2）若． ①证明恰有两个零点； ②设为的极值点，为的零点，且，证明． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 函数的零点问题 一、知识与方法 1 函数零点的定义 若实数是函数的零点，则需满足条件．有3个等价关系，如下： 2 函数零点的存在性定理 条件 结论 函数在上 ①图像上是连续不断的 在内有零点 ② 3 用二分法求方程的近似解 对于在区间上连续不断，且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫作“二分法”．二分法只能解决函数的变号零点，对于不变号零点它是无能为力的．因此要求用二分法求方程近似解的问题，把这个方程函数化后，这个函数一定有变号零点． 二、典型例题 【例1】已知函数若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为 ． 【分析】 已知函数有零点（方程有根）求参数取值苊固常用的方法和思路有以下3种：①直接法，直接求方程的根，再约束根的范围确定参数的苊固，但这种解决太烦琐，一般不采用；②分离参数法，先将参数分离，转化为求函数的值域问题进行解决，由于新得的函数不再含有参数，解法相对容易；③数形结合法，先对解析式进行适当变形，然后在同一坐标系中画出函数的图像，进行观察求解．其中数形结合法最为直观简洁，对于这类问题，通常用数形结合法为好． 【解析】 画出函数的图像如图2-3所示，函数有4个零点，即函数的图像与函数的图像有4个交点（根据图像知需），如图2-3所示，当时，函数的图像与函数的图像有3个交点，故． 当与相切时，在整个定义域内，的图像与的图像有5个交点， 此时，由得． 由得，解得或（舍去）． 则当时，两个函数图像有4个交点，故实数的取值范围是． 【例2】已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围． 【分析】 函数在上有零点，即方程在上有解且是有一个解或是两个解（探讨问题要完整），则必须对分类讨论，在时，是二次方程，则必须对方程在上有一个解还是两个解又一次分类讨论．若把方程问题转化为函数图像来分析，一般情况下，又要对或再一次分类讨论，是不是能够避免这次讨论呢？应当通过数形结合进一步分析． 【解析】 函数在区间上有零点，等价于方程在上有解． 当时，方程是一次方程，解程，不符合题意；当时，方程是二次方程． 方程在上有解，对解的要求是： ①在上有一个解（另一个解不属于区间），这时应满足即，即． ②在上有两个解，这时应满足 解不等式组得或， 由①和②得或． ∴实数的取值范围是． 【例3】设． （1）证明：方程在区间内有实数解； （2）使用二分法，取区间的中点3次，指出方程的实数解在哪个较小的区间内． 【分析】 第（1）问，方程在区间内有实数解，即函数在内有零点，可运用零点（勘根）定理求解，介绍如下：如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根． 第（2）问，运用二分法求函数零点的近似值，必须㨆住以下几个环节． （1）选定初始区间的原则是：①区间长度尽量小；②的值比较容易计算且． （2）根据函数的零点与