第20讲 应用导数探究函数的极值问题与最值问题 讲义-2023届高考数学二轮复习提升微专题代数篇

第20讲 应用导数探究函数的极值问题与最值问题 一、知识与方法 1 函数极值的定义 （1）极大值：一般地，设函数在点及附近有定义，如果对附近的所有点都有，就说是函数的一个极大值，记作，是极大值点． （2）极小值：一般地，设函数在点及附近有定义，如果对附近的所有点都有，就说是函数的一个极小值，记作，是极小值点． （3）极值：极大值与极小值统称为极值．在定义中，取得极值的点称为极值点．极值点是自变量的值，极值指的是函数值． 2 函数的最值 一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值，特别地，若函数在上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值． 二、典型例题 【例1】已知函数． （1）若在上是增函数，求实数的取值范围； （2）若是的极值点，求在上的最小值和最大值． 【例2】已知函数． （1）求曲线的斜率为1的切线方程； （2）当时，求证：； （3）设，记在区间上的最大值为，当最小时，求的值． 三、易错提醒 【例1】已知函数,当时,取得极值,试判断和是极大值还是极小值? 【例2】已知函数. （1）求函数的单调区间; （2）记函数的最小值为,求的极值点. 四、难题攻略 【例】设函数,为的导函数. (1)若,求的值; (2)若,且和的零点均在集合中,求的极小值; (3)若且的极大值为,求证:. 五、强化训练 1.设函数.若函数在区间上的最大值为4,求的值. 2.设函数. （1）如果在处取得最小值一5,求的解析式; （2）如果的单调递在区间的长度是正整数,试求和的值(注:区间的长度为). 3.设函数(其中. (1)当时,求函数的单调区间; (2)时,求函数在上的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20讲 应用导数探究函数的极值问题与最值问题 一、知识与方法 1 函数极值的定义 （1）极大值：一般地，设函数在点及附近有定义，如果对附近的所有点都有，就说是函数的一个极大值，记作，是极大值点． （2）极小值：一般地，设函数在点及附近有定义，如果对附近的所有点都有，就说是函数的一个极小值，记作，是极小值点． （3）极值：极大值与极小值统称为极值．在定义中，取得极值的点称为极值点．极值点是自变量的值，极值指的是函数值． 2 函数的最值 一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值，特别地，若函数在上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值． 二、典型例题 【例1】已知函数． （1）若在上是增函数，求实数的取值范围； （2）若是的极值点，求在上的最小值和最大值． 【分析】 已知函数的单调性求参数的范围，可利用函数的单调性的必要条件，解题时注意端点处的符号；已知多项式函数的极值点求待定系数的值，可利用函数在一点处有极值的必要条件，列出方程组求解，最后要检验取舍． 【解析】 （1），由题设知时，． ∵，∴，∴（当时，取等号）， 而时，当且仅当时，，∴． （2）由题设知，即，∴，， 令，得或（舍去）． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． ∴当时，有极小值． 又， ∴在上的最小值是，最大值是． 【例2】已知函数． （1）求曲线的斜率为1的切线方程； （2）当时，求证：； （3）设，记在区间上的最大值为，当最小时，求的值． 【分析】 第(1)问,求出导函数,利用导数的几何意义求出切点,从而利用,点斜式求得切线方程;第(2)问,构造新函数,通过求导研究新函数的单调性,求得其值域,从而使问题得证;第(3)问,结合第(2)问中函数的值域求得的范围,从而根据等号成立的条件求得的值. 【解析】 (1)由得,令,即.得或.又. ∴曲线的斜率为1的切线方程是与,即与 (2) 令,由,得.令,得或.的情况如下： ∴的最小值为,最大值为. 故,即. (3)由(2)知,当时,; 当时,; 当时,. 综上,当最小时,. 三、易错提醒 【例1】已知函数,当时,取得极值,试判断和是极大值还是极小值? 【错解】 由题意,得. ∵当时,取得极值,∴,则. 令,则. ∵是极小值,是极大值. 【分析】 上述结果是不正确的,主要是因为对极值的概念理解错误,函数在处有极值是指函数在处附近的变化状态,而不是与其他极值点的函数值比较,因为极小值也可能比极大值大,所以求极值时必须研究函数的单调性,通过函数的单调性进行判断. 【解析】 正确的解法如下： 由得.当变化时,和的变化情况列表如下： 由上表可知,是极大值,是极小值. 【例2】已知函数. （1）求函数的单调区间; （2）记函数的最小值为,求的极值点. 【错解】 (1). ∵,由得,由得. 故函数在上单调递数,在上单调递增; (2)函数的最小值为,故. 则由,得. ∴在上的极值点是. 【分析】 上述解法有两点错