第10讲 平面向量数量积的坐标表示-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第10讲平面向量数量积的坐标表示 ( 目标导航 ) 课程标准 课标解读 1. 掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算. 2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题． 1、通过阅读课本，和前面平面向量坐标表示的基础上，掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算 2、截止当前，我们已经学习了两个数量积的公式，在学习过程中能根据实际情况，能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题． ( 知识精讲 ) 知识点01平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 则a·b＝x1x2＋y1y2. (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝或|a|＝. 若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. (2)a⊥b⇔. (3)cosθ＝＝. 【即学即练1】　已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于(　　) A．10B．－10C．3D．－3 ( 能力拓展 ) 考法01数量积的坐标运算 【典例1】　已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝________. 反思感悟　进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系 (1)|a|2＝a·a. (2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2. (3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. 【变式训练】已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x等于(　　) A．6B．5C．4D．3 考法02平面向量的模 【典例2】已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于(　　) A.B.C．5D．25 反思感悟 求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 【变式训练】已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(，0)，则|2a－b|的最大值为________． 考法03平面向量的夹角、垂直问题 【典例3】已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为，则实数m等于(　　) A．2 B. C．0 D．－ 反思感悟 解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由cosθ＝＝直接求出cosθ. (2)注意事项：利用三角函数值cosθ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cosθ＝判断θ的值时，要注意cosθ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cosθ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 【变式训练】已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)． (1)求a与b夹角的余弦值； (2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值． ( 分层提分 ) 题组A基础过关练 1．已知向量，如果向量与垂直，则（） A． B． C．2 D． 2．已知向量，，若，且，则实数（） A． B． C． D． 3．已知向量，若，则实数m的值是（） A．3或 B．或1 C．3或1 D．或 4．若向量，且与垂直，则实数_______． 5．已知，则在方向上的数量投影为_______． 6．将函数的图像和直线的所有交点从左到右依次记为，，…，，若点P坐标为，则__________． 7．已知向量，若，则__________. 8．已知向量，，若，则______． 9．已知平面向量，则与的夹角为______. 10．已知，，则______． 11．已知平面向量，，. (1)若，求x的值； (2)若（为负实数），求x，的值. 12．已知平面向量． (1)若，求满足的和的值； (2)若，求m的值． 题组B能力提升练 1．已知向量，，若，则（） A．0 B． C．2 D．8 2．已知向量，满足，，且，则向量，夹角的余弦值为（） A． B． C． D． 3．（多选）下列说法中正确的有（） A．已知在上的投影向量为且，则； B．已知，且与夹角为锐角，则的取值范围是； C．若非零向量满足，则与的夹角是. D．在中，若，则为锐角； 4．（多选）折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形，其中，，点在弧上，且，点在弧上运动（包括端点），则下列结论正确的有（） A．在方向上的投影向量为 B．若，则 C． D．的最小值是 5．在中，，点是外接圆上任意一点，则的最大值为__________