14.2.1 平方差公式（课件）-八年级数学上册同步辅导微课（人教版）

整式的乘除与因式分解 平方差公式 主讲：黄继彬 平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2 1.平方差公式:两个数的和乘以两个数的差,等于这两 个数的平方差. (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2 =a2-b2 推导： 注意:公式中a、b可以表示数、单项式、多项式甚至更复杂 的代数式. (a+b)(a-b)=a2-b2 符号相同 符号相反 2.用文字语言描述此公式: 符号相同 数的平方 符号相反 数的平方 两个数的和与这两个数的差之积,等于这两个数的平方差. 注意:必须满足有两项相同,另两项互为相反数,才可用平方 差公式;并且结果等于相同项平方减去相反项平方. a b a b b b 3.平方差公式的几何意义： （1）原来图中的红色部分部分面积是______. （2）新拼出的长方形的面积是__________. a²-b² (a+b)(a-b) (a+b)(a-b)=a2-b2 例1.运用平方差公式进行计算. 解:(1)(3x + 2)(3x – 2 )= (3x)2 - 22 = 9x2- 4 (a + b)( a - b )= a2 - b2 (2)(b+2a)(2a-b) (3)(-x + 2y)(-x - 2y) (1)(3x+2)(3x–2); (2)(b+2a)(2a-b); (3)(-x+2y)(-x-2y) =(2a + b)(2a - b) = (2a)2-b2 = 4a2-b2 提示：相同的项为a，相反的项为b. = (-x)2-(2y)2 = x2-4y2 (1)(2x-3y)(3y-2x) (2)(-2x+3y)(2x+3y) (3)(2x-3y)(2x-3y) (4)(2x+3y)(2x-3y) 分析:必须满足有两项相同,另两项互为相反数,才可用平方 差公式;并且乘积等于相同项平方减去相反项平方. 例2.判断下列式子是否可用平方差公式进行计算. 解： (1)(2x -3y)(3y -2x ) （不可用平方差公式） (2)(-2x+3y)(2x+3y) =（3y)2-(2x)2 = 9y2-4x2 (3)(2x -3y)(2x -3y) （不可用平方差公式） (4)(2x +3y)(2x -3y) =（2x)2-(3y)2 = 4x2-9y2 例3.计算: 解： (2)(2a+b)(2a-b)(4a2+b2) =(4a2-b2)(4a2+b2) =16a4–b4 (2)(2a+b)(2a-b)(4a2+b2) (3)a2(a+b)(a-b)+a2b2 (4)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3). (3)a2(a+b)(a-b)+a2b2 =a2(a2-b2)+a2b2 =a4-a2b2+a2b2 =a4 (6)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3) =4x2-25-4x2+6x =6x-25 例4.计算： (1)102×98;(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5). 解: (1) 102×98 =(100+2)(100-2) (2) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) =1002 - 22 = 10000 - 4= 9996 = y2 - 22 - (y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5 = -4y+1 提示：①（a+b)(a-b)=a2-b2;②(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab. 例5.怎样用平方差公式计算(a+b+c)(a+b-c)？ 解：(a +b +c)(a +b -c) = [(a+b)+c] [(a+b)-c] = (a+b)2-c2 = a2+2ab+b2-c2 例6.将下列各式变形为可利用平方差公式计算的形式： (1) (a+2b+3)(a+2b-3) (2) (a+2b-3)(a-2b+3) (3) (a-2b+3)(a-2b-3) (4) (a-2b-3)(a+2b-3) (5) (3a-5b-2c)(-3a-5b+2c) (6) (x+y+m+n)(x+y-m-n) =[(a+2b)+3][(a+2b)-3] =[a+(2b-3)][a-(2b-3)] =[(a-2b)+3][(a-2b)-3] =[(a-3)-2b][(a-3)+2b] =[(-5b)+(3a-2c)][(-5b)-(3a-2c)] =[(x+y)+(m+n)][(x+y)-(m+n)] (1) (a+b) (a-c) ( ) (2) ( )