2023年九年级数学中考专题训练——二次函数的最值

中考专题训练——二次函数的最值 1.在平面直角坐标系xOy中,对于P(m,n),若点Q的坐标为(m,|m-n|),则称点Q为点P的关联点. (1)请直接写出点(2,2)的关联点; (2)如果点P在一次函数y=x-1的图像上,其“关联点”Q与点P重合,求点P的坐标; (3)已知点P在一次函数y=x(x>0)和一次函数y=x(x>0)所围成的区域内,且点P的“关联点”Q在二次函数的图像上,求线段PQ的最大值及此时点P的坐标. 2.如图,已知直线y=x+1与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0). (1)求该抛物线的解析式; (2)在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM﹣MC|的值最大,求出点M的坐标; (3)动点P在x轴上移动,当△PAE是直角三角形时,求点P的坐标. 3.如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点,其中点A(0,1),点B(-9,10),AC∥x轴,点P是直线AC下方抛物线上的动点. (1)求抛物线的解析式; (2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F,当四边形AECP的面积最大时,求点P的坐标; (3)当点P为抛物线的顶点时,在直线AC上是否存在点Q,使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由. 4.如图,对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A、B两点,其中A点的坐标为(-3,0),C为抛物线与y轴的交点且S△ABC=6 (1)求点B的坐标和抛物线的解析式; (2)若点P在抛物线上,且S△POC=4S△BOC,求点P的坐标; (3)①设点Q是线段AC上的动点,作QD⊥x轴交抛物线于点D,求线段QD长度的最大值; ②若点M是抛物线上在A、C之间的一个动点,则三角形ACM的最大面积是多少? 5.如图,已知抛物线(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C,且OC=OB. (1)求此抛物线的解析式; (2)若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE,CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求出此时点E的坐标; (3)点P在抛物线的对称轴上,若线段PA绕点P逆时针旋转90°后,点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上,求点P的坐标. 6.已知抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于点C,其中点B在轴的正半轴上,点C在轴的正半轴上,OB=2,OC=8,抛物线的对称轴是直线. (1)求此抛物线的表达式; (2)连接AC、BC、,若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),过点E做EF//AC交于点F,连接CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围; (3)在(2)的基础上说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并求出此点E的坐标,判断此时△BCE的形状;若不存在,请说明理由. 7.如图,抛物线与x轴交于A(1,0)、B(-4,0)两点. (1)求该抛物线的解析式; (2)设(1)中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由. (3)设此抛物线与直线在第二象限交于点D,平行于轴的直线与抛物线交于点M,与直线交于点N,连接BM、CM、NC、NB,是否存在的值,使四边形BNCM的面积S最大?若存在,请求出的值,若不存在,请说明理由. 8.已知二次函数的图象如图所示. (1)求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标; (2)若点N为线段BM上的一点,过点N作x轴的垂线,垂足为点Q.当点N在线段BM上运动时(点N不与点B,点M重合),设NQ的长为t,四边形NQAC的面积为s,求s与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围; (3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使△PAC为直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由; (4)将△OAC补成矩形,使上△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,试直接写出矩形的未知的顶点坐标(不需要计算过程). 9.如图1,抛物线G:y=﹣x2+bx+c经过点B(6,0),顶点为A,对称轴为直线x=2. (1)求抛物线G的解析式; (2)若点C为直线AB上方的抛物线上的动点,当ABC面积最大时,求C点的坐标; (3)如图2,将抛物线G向左平移至顶点在y轴上,平移后的抛物线与x轴交于点E、F,平行于x轴的直线l经过点(0,8),若点P为x轴上方的抛物线上的动点,分别连接EP、FP,并延长交直线l于M、N两点,若M、N两点的横坐标分别为m、n,试探究m、n之间的数量关系. 10.已知抛物线与轴只有