专题06 平面向量的概念-2023年高一数学寒假自我学习课精讲精练（人教A版2019）

专题06 平面向量的概念 【夯实双基】 一、向量的概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量． 2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 二、向量的表示法 1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2、向量的表示方法： （1）字母表示法：如等． （2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量． 三、向量的有关概念 1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）． （1）向量的模． （2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量． 4、相等向量：长度相等且方向相同的向量． 四、向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）． 规定：与任一向量共线． 知识点诠释： 1、零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别． 2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系． 3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 【概念辨析】 （1）向量就是有向线段．( ) （2）向量的长度与向量的长度相等 （3）两个公共终点的向量，一定是共线向量 （4）共线向量一定在同一条直线上．( ) （5）向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上． （6）若，则， 【答案】（1）错误；（2）正确；（3）错误；（4）错误；（5）错误；（6）错误 【典例精讲】 考点一 向量的实际背景与概念 例1．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）下列物理量中哪个是向量（    ） A．质量 B．功 C．温度 D．力 【答案】D 【分析】根据向量的定义判断即可． 【详解】质量、功、温度只有大小没有方向不是向量，故ABC错误， 力既有大小又有方向，是向量，故D正确，故选：D． 例2一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛． （1）试作出向量； （2）求． 【解析】 （1）建立如图所示的直角坐标系，向量即为所求． （2）根据题意，向量与方向相反，故向量，又， ∴在中，，故为平行四边形， ∴，则（海里）． 练习1．一艘海上巡逻艇从港口向北航行了，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向处有一艘渔船抛锚需救助.试求： （1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程； （2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移. 【解析】 （1）画出示意图，如图所示，易得所求路程为巡逻艇两次路程的和，即. （2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移是向量，既有大小又有方向，其大小为. 由于，故方向约为北偏东53°. 考点二 向量的几何表示 例1在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1. (1)试以B为终点画一个向量，使； (2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？ 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析，终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆 【分析】（1）（2）根据相等向量与向量模的几何意义，画出向量，即可得解； （1） 解：根据相等向量的定义，所作向量与向量平行，且长度相等． 图如下所示： （2） 解：由平面几何知识可知所有这样的向量的终点的轨迹是以为圆心，半径为的圆． 考点三 相等向量与共线向量 例1．（2022春·广东佛山·高二佛山市南海区南海执信中学校考开学考试）如图，为正方形的两条对角线的交点，四边形和四边形都是正方形，在图中所示的向量中. (1)分别写出与、相等的向量； (2)写出与共线的向量； (3)写出与的模相等的向量； (4)向量与是否相等？ 【答案】(1)，. (2)，，. (3)，，，，，，. (4)不相等 【分析】（1）根据相等向量的概念，即可得出结果； （2）根据共线向量的概念，即可得出结果； （3）根据向量模的概念，即可得出结果； （4）根据相等向量的概念，即可得出结果； 【解析】（1）依题意，因为是正方形对角线的交点，四边形，都是正方形， 所以，； 由题可得：，； （2）与共线的向量有，，. （3）与的模相等的向量有：，，，，，，. （4）向量与不相等，因为它们的方向不相同． （2）．（2022春·广东佛山·高二佛山市南海区南海执信中学校考开学考试）下列说法中正确的是（    ） A．若为单位向量，则 B．若与共线，则或 C．若，则 D．是与非零向量共线的单位