专题13 复数的概念-2023年高一数学寒假自我学习课精讲精练（人教A版2019）

专题13 复数的概念 【夯实双基】 一、复数的基本概念 1、虚数单位 数叫做虚数单位，它的平方等于，即． 2、复数的概念 形如（）的数叫复数，记作：（）； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 3、复数的分类 对于复数（） 若b=0，则a+bi为实数，若b≠0，则a+bi为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数． 分类如下： （） 用集合表示如下图： 二、复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． 三、复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴． 2、复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 3、复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数（），向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 复数集C和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 4、复数的模 设（），则向量的长度叫做复数的模，记作． 即． 【概念辨析】 （1）两个虚数不能比较大小.( ) （2）已知i为虚数单位，复数是纯虚数.( ) （3）已知为虚数单位，的虚部是．( ) （4）实数集与复数集的交集是实数集．( ) 【答案】（1）错误；（2）错误；（3）错误；（4）正确 【典例精讲】 考点1 复数的有关概念 题型一 数系的扩充 例1 设C为复数集，R为实数集，I为虚数集，M为纯虚数集，则下列式子中不正确的是______（请填代号）． ①；    ②；    ③；    ④． 【答案】② 【分析】求得判断①；求得判断②；求得判断③；求得判断④ 【详解】，则①判断正确；，则②判断错误； ，则③判断正确；，则④判断正确 故答案为：② （2）．（2022·全国·高一课时练习）设集合，，，则，，间的关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非纯虚数的虚数． 因此只有B正确． 故选：B． 练习1 已知集合，，求． 【答案】 【分析】利用虚数单位的性质化简集合，再对集合中的元素逐一判断是否为集合中的元素，从而求得. 【详解】因为，， 又，，，， 所以， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 综上： 题型二 复数的代数形式 例2．（2022秋·湖南株洲·高一校联考期中）已知复数 的实部和虚部分别为 和 4， 则实数 和 的值分别是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用复数的概念列式计算作答. 【详解】，复数 的实部和虚部分别为 和 4， 因此，解得， 所以实数 和 的值分别是. 练习2．（天津市和平区2022-2023学年高三上学期期末数学试题）设为虚数单位，复数的实部与虚部的和为12，则___________. 【答案】2 【分析】根据复数的运算确定实部与虚部即可解决. 【详解】由题知， 复数， 因为实部与虚部的和为12， 所以，解得， 故答案为：2. 考点2 复数相等 例1．（2022春·湖北·高三校联考阶段练习）设，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】结合复数乘法以及复数相等的知识求得正确答案. 【详解】依题意， 即， 所以，即. 故选：C 练习1（2022春·河南·高三校联考阶段练习）设，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数相等可得答案. 【详解】， 解得. 故选：D. 考点3 复数分类 例1．已知复数，若是纯虚数，则实数______． 【答案】1 【分析】根据纯虚数的概念求解. 【详解】解：因为复数，且是纯虚数， 所以，解得， 故答案为：1 （2）（2023·高一课时练习）复数为纯虚数的充要条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】由题可得，进而即得答案. 【详解】要使复数为纯虚数，则， 若，则；若，则， 所以且． 故选：D． 练习1．（2023·高一课时练习）已知复数．当实数取什么值时，复数是： (1)虚数； (2)纯虚数．