预习专题01 平面向量的概念4题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 预习专题01 平面向量的概念4题型分类 一、向量的概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量． 2．数量：只有大小没有方向的量称为数量． 二、向量的几何表示 1．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示． 以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度记作||． 2．向量的表示 (1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向． (2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，)． 3．模、零向量、单位向量 向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作||． 长度为0的向量叫做零向量，记作0． 长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量． 三、相等向量与共线向量 1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. (1)记法：向量a与b平行，记作a∥b. (2)规定：零向量与任意向量平行. 2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆. （一） 向量的概念 1、向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量． (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量． 2、解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题． 题型1：利用向量有关概念判断命题 1．（2024高一·全国·课后作业）有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中，不是向量的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024高一下·湖北鄂州·期中）下列关于零向量的说法正确的是（    ） A．零向量没有大小 B．零向量没有方向 C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线 3．（2024高一·全国·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等 C．的长度为，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移动 4．（2024高一上·辽宁沈阳·期末）下列命题中正确的是（    ） A．单位向量的模都相等 B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 5．（2024高一下·陕西咸阳·期中）下列命题中，错误的是（    ） A．若，则与方向相同或相反 B．若，，则 C．若，，则 D．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 6．（2024高一下·宁夏银川·阶段练习）在下列结论中，正确的结论为（    ） A．且是的必要不充分条件 B．且是的既不充分也不必要条件 C．与方向相同且是的充要条件 D．与方向相反或是的充分不必要条件 7．（24-25高一上·北京·阶段练习）下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 （二） 向量的几何表示及应用 1．向量的表示 (1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向． (2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，). 2．模、零向量、单位向量 (1)向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作||． (2)长度为0的向量叫做零向量，记作0． (3)长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量． 3.作向量的方法：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点． 题型2：向量的几何表示及应用 8．（2024高一·全国·假期作业）已知向量如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 9．（2024高一·全国·课后作业）在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： （1），使||＝4，点A在点O北偏东45°； （2），使＝4，点B在点A正东； （3），使＝6，点C在点B北偏东30°. 10．（2024高一下·全国·课后作业）如图所示，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方. （1）作出向量，，（图中1个单位长度表示100m）； （2）求向量的模. 11．（2024高一下·全国·课后作业）如图的方格由若干个边长为1的小正方形组成，方格中有定点A，点C为小正方形的顶点，且，画出所有的向量. 12．（2024高一·全国·随堂练习）画图表示小船的下列位移（用的比例尺）： (1)由A地向东北方向航行15km到达B地； (2)由A地向北偏西30°方向航行20km到达C地； (3)由C地向正南方向航行20km到达D地． 13．（2024高一下·山东菏泽·阶段练习）如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ）． A． B． C． D．与不能比较大小 （三） 相等向量与共线向量 相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线. (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量. 题型3：相等向量与共线向量的判定 14．（2024高一·全国·课后作业）下列命题中正确的个数是（    ） ①若向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上； ②若向量与向量平行，则，方向相同或相反； ③若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°； ④若，则，是相等向量或相反向量. A．0 B．1 C．2 D．3 15．（2024高一·全国·专题练习）如图，是正六边形的中心，且，，．在以这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问： (1)与相等的向量有哪些？ (2)的相反向量有哪些？ (3)与的模相等的向量有哪些？ 16．（2024高一·全国·专题练习）已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出： （1）与相等的向量； （2）与长度相等的向量； （3）与共线的向量. 17．（2024高一·全国·课后作业）设是正方形ABCD的中心，则（    ） A．向量，，，是相等的向量 B．向量，，，是平行的向量 C．向量，，，是模不全相等的向量 D．， 18．（2024高一·全国·课后作业）在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），找出存在下列关系的向量：    ①共线向量： ； ②方向相反的向量： ； ③模相等的向量： . 19．（2024高一下·全国·课后作业）如图，EF，CH将正方形ABCD分成四个单位正方形(边长为1个单位长度).在以图中各点为端点的所有向量中，除向量外，与平行的向量有哪些?与平行且是单位向量的有哪些?    题型4：平面向量在几何中的应用 20．（2024高一下·广东深圳·阶段练习）已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（    ） A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形 21．（2024高三下·河南·阶段练习）已知四边形，下列说法正确的是（    ） A．若，则四边形为平行四边形 B．若，则四边形为矩形 C．若，且，则四边形为矩形 D．若，且，则四边形为梯形 22．（2024高一·全国·课后作业）如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：. 23．（2024高一·全国·专题练习）在平行四边形中，，分别为边、的中点，如图． (1)写出与向量共线的向量； (2)求证：． 24．（24-25高一下·全国·课后作业）给出下列四个命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则与的方向相同或相反 B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 C．若，则 D．“”的充要条件是“且” 25．（2024高一·全国·课后作业）若且，则四边形的形状为（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 一、单选题 1．（2024高二上·黑龙江·学业考试）下列量中是向量的为（    ） A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离 2．（2024高一下·山东菏泽·阶段练习）对下面图形的表示恰当的是（    ）．    A． B． C． D． 3．（2024高一下·全国·课后作业）给出下列物理量： ①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间． 其中不是向量的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（2024高一·全国·课后作业）下列说法： ①零向量是没有方向的向量； ②零向量的方向是任意的； ③零向量与任意一个向量共线. 其中，正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2024高二·全国·课后作业）下列命题中假命题是（    ） A．向量与的长度相等 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于 D．共线的单位向量都相等 6．（2024高一下·甘肃武威·期中）下列关于向量的描述正确的是 A．若向量，都是单位向量，则 B．若向量，都是单位向量，则 C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量 D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆 7．（2024高一下·陕西渭南·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则存在唯一实数使得 C．若，，则 D．与非零向量共线的单位向量为 8．（浙江省丽水市2023-2024学年高一下学期普通高中教学质量监控（期末）数学试题）若为非零向量，则“”是“共线”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2024高一·全国·课后作业）如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是（    ） A．＝ B． C．＞ D．＜ 10．（2024高一下·广东揭阳·阶段练习）下列结论中正确的为（    ） A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B．向量与向量的长度相等 C．对任意向量，是一个单位向量 D．零向量没有方向 11．（2024高一下·新疆巴音郭楞·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．单位向量均相等 B．单位向量 C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则 12．（2024高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量没有方向 D．向量的模是一个正实数 13．（2024高一下·云南保山·期中）下列说法错误的是（    ） A．长度为0的向量叫做零向量 B．零向量与任意向量都不平行 C．平行向量就是共线向量 D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量 14．（2024高一上·全国·课后作业）下列命题： ①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同； ②若，则； ③若，则四边形ABCD是平行四边形； ④若，，则； ⑤若，，； ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段； ⑦任何一个非零向量都可以平行移动． 其中，假命题的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 15．（24-25高一下·全国·课后作业）给出下列四个命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则与的方向相同或相反 B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 C．若，则 D．“”的充要条件是“且” 二、多选题 16．（2024高一下·贵州贵阳·阶段练习）下列结论中，错误的是（    ） A．表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； B．若，则，不是共线向量； C．若，则四边形是平行四边形； D．与同向，且，则 17．（2024高一下·四川遂宁·阶段练习）下列命题中错误的有（    ） A．起点相同的单位向量，终点必相同； B．已知向量，则四边形ABCD为平行四边形； C．若，则； D．若，则 三、填空题 18．（24-25高一下·全国·课后作业）已知四边形和都是平行四边形，则与向量相等的向量为 ． 19．（24-25高二上·全国·课后作业）给出下列命题： ①是向量的必要不充分条件； ②向量，相等的充要条件是； ③若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件. 其中正确的是 .（填序号） 20．（2024高一上·全国·课后作业）四边形，，都是全等的菱形，与相交于点，则下列关系中正确的序号是 ． ①；②；③；④． 四、解答题 21．（2024高一下·上海·课后作业）如图，以方格纸中的格点为起点和终点的所有非零向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？ 22．（2024高一·湖南·课后作业）某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D．试分别作出向量，和． 23．（2024高一·全国·课后作业）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方． (1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）； (2)求的模． 24．（2024高一·全国·专题练习）某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． （1）作出向量，，； （2）求 的模． 25．（2024高一下·上海·课后作业）在下图田字格中，以图中的结点为向量的起点或终点. （1）写出与相等的向量； （2）写出与平行的向量； （3）写出的负向量. 26．（2024高一下·安徽六安·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 27．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中： (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与的相反向量； (3)写出与模相等的向量. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 预习专题01 平面向量的概念4题型分类 一、向量的概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量． 2．数量：只有大小没有方向的量称为数量． 二、向量的几何表示 1．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示． 以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度记作||． 2．向量的表示 (1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向． (2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，)． 3．模、零向量、单位向量 向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作||． 长度为0的向量叫做零向量，记作0． 长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量． 三、相等向量与共线向量 1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. (1)记法：向量a与b平行，记作a∥b. (2)规定：零向量与任意向量平行. 2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆. （一） 向量的概念 1、向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量． (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量． 2、解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题． 题型1：利用向量有关概念判断命题 1．（2024高一·全国·课后作业）有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中，不是向量的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】向量包含两个要素，大小和方向，依次判断即得解 【详解】因为速度、力和加速度既有大小，又有方向，所以它们是向量； 而质量、路程和功只有大小，没有方向，所以它们不是向量， 故不是向量的个数是3. 故选：C 2．（2024高一下·湖北鄂州·期中）下列关于零向量的说法正确的是（    ） A．零向量没有大小 B．零向量没有方向 C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线 【答案】D 【分析】根据零向量的定义和性质即可判断. 【详解】根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误； 两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错误； 零向量与任意向量共线，D正确． 故选：D. 3．（2024高一·全国·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等 C．的长度为，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移动 【答案】B 【分析】根据向量的相关概念直接判断即可. 【详解】因为，所以和互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项正确； 单位向量长度都为，但方向不确定，故B选项错误； 根据零向量的概念，易知C选项正确； 向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确； 故选：B. 4．（2024高一上·辽宁沈阳·期末）下列命题中正确的是（    ） A．单位向量的模都相等 B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 【答案】AD 【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】根据单位向量的概念可知，单位向量的模都相等且为1，故A正确； 根据共线向量的概念可知，长度不等且方向相反的两个向量是共线向量，故B错误； 向量不能够比较大小，故C错误； 根据相等的向量的概念可知，两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故D正确. 故选：AD. 5．（2024高一下·陕西咸阳·期中）下列命题中，错误的是（    ） A．若，则与方向相同或相反 B．若，，则 C．若，，则 D．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 【答案】ABD 【分析】 取，可判断A选项；取，可判断B选项；利用相等向量的定义可判断C选项；利用相等向量、相反向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，若，则零向量的方向任意，A错； 对于B选项，取，则，，但、不一定平行，B错； 对于C选项，，，则，C对； 对于D选项，若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反，D错. 故选：ABD. 6．（2024高一下·宁夏银川·阶段练习）在下列结论中，正确的结论为（    ） A．且是的必要不充分条件 B．且是的既不充分也不必要条件 C．与方向相同且是的充要条件 D．与方向相反或是的充分不必要条件 【答案】ACD 【分析】 根据向量共线、向量相等的概念结合充分条件、必要条件逐项判断即可. 【详解】因为且，所以或， 若，则与方向相同且，所以且是的必要不充分条件， 故选项A正确，选项B错误； 对于选项C，因为与方向相同且，所以， 反之，若，则与方向相同且， 所以与方向相同且是的充要条件，正确； 对于选项D，若与方向相反或，则，若，则与方向不同或， 即由得不到与方向相反或， 所以与方向相反或是的充分不必要条件，正确. 故选：ACD 7．（24-25高一上·北京·阶段练习）下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【答案】A 【分析】根据向量有大小有方向的特点逐项判断. 【详解】对于A，摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是向量，A正确； 对于B，轴，轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误； 对于C，温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误； 对于D，身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误； 故选:A． （二） 向量的几何表示及应用 1．向量的表示 (1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向． (2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，). 2．模、零向量、单位向量 (1)向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作||． (2)长度为0的向量叫做零向量，记作0． (3)长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量． 3.作向量的方法：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点． 题型2：向量的几何表示及应用 8．（2024高一·全国·假期作业）已知向量如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 【答案】D 【详解】由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确．故选D． 9．（2024高一·全国·课后作业）在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： （1），使||＝4，点A在点O北偏东45°； （2），使＝4，点B在点A正东； （3），使＝6，点C在点B北偏东30°. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】（1）由点A在点O北偏东45°处和||＝，可得出点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，可作出向量； （2）由点B在点A正东方向处，且＝4，得出在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，可作出向量； （3）由点C在点B北偏东30°处，且＝6，再由勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为≈5.2，作出向量． 【详解】（1）由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如下图所示． （2）由于点B在点A正东方向处，且＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如下图所示． （3）由于点C在点B北偏东30°处，且＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如下图所示． 【点睛】本题考查方位角和向量的几何表示，关键在于明确方位角的含义和向量的模，得出向量在横向和纵向的小方格的个数，属于基础题. 10．（2024高一下·全国·课后作业）如图所示，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方. （1）作出向量，，（图中1个单位长度表示100m）； （2）求向量的模. 【答案】（1）作图见解析（2） 【分析】（1）根据题意直接画图即可； （2）根据（1）的作图，可以通过平行四边形的性质、勾股定理得到向量的模. 【详解】解：（1）如图，即为所求. （2）如图，作向量，由题意可知，四边形是平行四边形， ∴. 【点睛】本题考查了在直角坐标系内画出向量，考查了利用勾股定理求向量的模，属于基础题. 11．（2024高一下·全国·课后作业）如图的方格由若干个边长为1的小正方形组成，方格中有定点A，点C为小正方形的顶点，且，画出所有的向量. 【答案】见解析 【解析】利用向量模长的几何意义，即可画出图形. 【详解】∵，∴C点落在以A为圆心，以为半径的圆上，又∵点C为小正方形的顶点， 根据该条件不难找出满足条件的点C，解析所有的向量，如图所示： 【点睛】本题考查了向量模长的几何意义，轨迹问题，属于基础题. 12．（2024高一·全国·随堂练习）画图表示小船的下列位移（用的比例尺）： (1)由A地向东北方向航行15km到达B地； (2)由A地向北偏西30°方向航行20km到达C地； (3)由C地向正南方向航行20km到达D地． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 (3)答案见详解 【分析】先画出以点A为顶点，北偏东45°的角，并取出相应的长度确定B点； 接下来再以点A为顶点画出北偏西30°的角，并取出相应的长度确定C点，再以点C为顶点正南方向，并取出相应的长度确定D点即可. 【详解】（1）根据的比例尺，即图上，作图如下，    （2）根据的比例尺，即图上，作图如下，    （3）根据的比例尺，即图上，作图如下，    13．（2024高一下·山东菏泽·阶段练习）如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ）． A． B． C． D．与不能比较大小 【答案】A 【分析】根据题意，作图，结合向量的几何意义，可得答案. 【详解】由题意，作图如下： 则该飞机由先飞到，再飞到，则，，， 则飞机飞行的路程为，， 所以. 故选：A. （三） 相等向量与共线向量 相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线. (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量. 题型3：相等向量与共线向量的判定 14．（2024高一·全国·课后作业）下列命题中正确的个数是（    ） ①若向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上； ②若向量与向量平行，则，方向相同或相反； ③若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°； ④若，则，是相等向量或相反向量. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】对于①，根据共线向量的定义，由向量为自由向量，可得答案； 对于②，由零向量的定义和性质，可得答案； 对于③，根据向量的数量积的性质，可得答案； 对于④，根据模长的定义，可知方向不确定，可得答案. 【详解】①错误，平行向量又叫共线向量，向量与是共线向量，则与平行或共线； ②错误，与至少有一个为零向量时，结论不成立；由向量的夹角可知③正确； ④错误，由，只能说明，的长度相等，确定不了方向. 故选：B. 15．（2024高一·全国·专题练习）如图，是正六边形的中心，且，，．在以这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问： (1)与相等的向量有哪些？ (2)的相反向量有哪些？ (3)与的模相等的向量有哪些？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据相等向量、相反向量、向量模长的概念，结合图形进行分析求解即可. 【详解】（1）由相等向量定义知：与相等的向量有. （2）由相反向量定义知：的相反向量有. （3）由向量模长定义知：与的模相等的向量有. 16．（2024高一·全国·专题练习）已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出： （1）与相等的向量； （2）与长度相等的向量； （3）与共线的向量. 【答案】（1）；（2），，，，，，；（3） 【解析】（1）由BCAD，BC＝AD，可得答案； （2）由O是正方形ABCD对角线的交点知OB＝OD＝OA＝OC，可得答案； （3）由BCAD，BC＝AD，可得出与共线的向量. 【详解】画出图形，如图所示． （1）易知BCAD，BC＝AD，所以与相等的向量为. （2）由O是正方形ABCD对角线的交点知OB＝OD＝OA＝OC， 所以与长度相等的向量为，，，，，，. （3）与共线的向量为，，. 【点睛】本题考查向量的相等向量，共线向量，注意共线向量的定义，向量的方向，属于基础题. 17．（2024高一·全国·课后作业）设是正方形ABCD的中心，则（    ） A．向量，，，是相等的向量 B．向量，，，是平行的向量 C．向量，，，是模不全相等的向量 D．， 【答案】D 【分析】根据正方形的性质，以及向量的概念，即可得出答案. 【详解】     对于A项，，不共线，故A项错误； 对于B项，显然不平行，且三点不共线，故B项错误； 对于C项，根据正方形的性质，可知，，，的长度相等，故C项错误； 对于D项，根据正方形的性质，方向相同，方向相同. 又，，，的长度相等，所以，，故D项正确. 故选：D. 18．（2024高一·全国·课后作业）在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），找出存在下列关系的向量：    ①共线向量： ； ②方向相反的向量： ； ③模相等的向量： . 【答案】 与，与 与，与 【分析】观察图形，利用共线向量、方向相反向量、模相等的向量的意义判断作答. 【详解】观察图形，，因此与是共线向量，并且方向相反；与是共线向量，并且方向相反， 显然，因此的模相等. 故答案为：与，与；与，与； 19．（2024高一下·全国·课后作业）如图，EF，CH将正方形ABCD分成四个单位正方形(边长为1个单位长度).在以图中各点为端点的所有向量中，除向量外，与平行的向量有哪些?与平行且是单位向量的有哪些?    【答案】答案见解析 【分析】结合图形，由平行向量的定义及单位向量的定义即可得出结论. 【详解】根据平行向量的定义，由图可知， 与平行的向量有：，，，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 其中的单位向量有：，，， ， ， ， ， ， ， ， . 题型4：平面向量在几何中的应用 20．（2024高一下·广东深圳·阶段练习）已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（    ） A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形 【答案】B 【分析】根据平面向量相等的概念，即可证明，且，由此即可得结论. 【详解】在四边形ABCD中， ，所以，且， 所以四边形为平行四边形． 故选：B 21．（2024高三下·河南·阶段练习）已知四边形，下列说法正确的是（    ） A．若，则四边形为平行四边形 B．若，则四边形为矩形 C．若，且，则四边形为矩形 D．若，且，则四边形为梯形 【答案】A 【分析】根据向量共线和模长相等的几何与意义结合平行四边形、矩形、梯形的定义逐项判断即可. 【详解】A选项，若，则且，则四边形为平行四边形，正确； 选项，如图    ，但是四边形不是矩形，错误； 选项，若，且，则四边形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故错误． 选项，若，且，则四边形可以是平行四边形，也可以是梯形，故错误. 故选：A 22．（2024高一·全国·课后作业）如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：. 【答案】见解析 【解析】根据平行四边形及向量相等的定理即可证明； 【详解】解：因为，所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以且. 又与的方向相同，所以. 同理可证，四边形是平行四边形，所以. 因为，，所以， 又与的方向相同，所以 【点睛】本题考查向量相等的定义的应用，属于基础题. 23．（2024高一·全国·专题练习）在平行四边形中，，分别为边、的中点，如图． (1)写出与向量共线的向量； (2)求证：． 【答案】(1), (2)证明见解析 【分析】（1）由题意直接写出与向量共线的向量即可； （2）证明四边形是平行四边形即可证明. 【详解】（1）据题意，与向量共线的向量为：, ； （2）证明：是平行四边形，且，分别为边，的中点， ，且， 四边形是平行四边形， ，且， ． 24．（24-25高一下·全国·课后作业）给出下列四个命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则与的方向相同或相反 B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 C．若，则 D．“”的充要条件是“且” 【答案】B 【分析】利用向量的概念和共线向量的概念逐项判断即可. 【详解】零向量方向是任意的，且与任意向量都平行，所以当时，时，， 但不满足两向量方向相同或相反，选项A错误； 因为A，B，C，D是不共线的四点，，所以，故四边形ABCD为平行四边形， 若四边形ABCD为平行四边形，则，所以“是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件，选项B正确； 当时，，但不一定有，选项C错误； 当时，有且，当且方向相反时，， 所以“”是“且”的充分不必要条件，选项D错误． 故选：B． 25．（2024高一·全国·课后作业）若且，则四边形的形状为（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 【答案】C 【分析】根据条件中的向量关系反映出来大小关系和方向关系来判断. 【详解】可知，四边形为平行四边形， 又因为, 所以四边形为菱形． 故选：C. 【点睛】本题考查向量的大小和方向问题，是基础题. 一、单选题 1．（2024高二上·黑龙江·学业考试）下列量中是向量的为（    ） A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离 【答案】B 【分析】根据向量与数量的意义直接判断即可. 【详解】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量. 故选：B 2．（2024高一下·山东菏泽·阶段练习）对下面图形的表示恰当的是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图像是个有向线段，可知其表达是一个向量. 【详解】图像有起点有终点，有箭头有方向，可知其代表的是向量. 故选：C. 3．（2024高一下·全国·课后作业）给出下列物理量： ①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间． 其中不是向量的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】既有方向，又有大小的量为向量 【详解】①质量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨时间只有大小，没有方向，故不是向量，其余均为向量，故共有5个不是向量. 故选：C 4．（2024高一·全国·课后作业）下列说法： ①零向量是没有方向的向量； ②零向量的方向是任意的； ③零向量与任意一个向量共线. 其中，正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据零向量的定义、性质判断各项的正误即可. 【详解】由零向量定义及性质知：其方向任意，且与任意向量共线，故①错误，②③正确； 故选：C 5．（2024高二·全国·课后作业）下列命题中假命题是（    ） A．向量与的长度相等 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【分析】利用相反向量的概念可判断A选项的正误；利用相等向量的定义可判断B选项的正误；利用零向量的定义可判断C选项的正误；利用共线向量的定义可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，与互为相反向量，这两个向量的长度相等，A选项正确； 对于B选项，两个相等的向量，长度相等，方向相同，若两个相等向量的起点相同，则终点也相同，B选项正确； 对于C选项，只有零向量的模等于，C选项正确； 对于D选项，共线的单位向量是相等向量或相反向量，D选项错误. 故选：D. 【点睛】本题考查平面向量的相关概念，考查相等向量、相反向量、共线向量以及零向量的定义的应用，属于基础题. 6．（2024高一下·甘肃武威·期中）下列关于向量的描述正确的是 A．若向量，都是单位向量，则 B．若向量，都是单位向量，则 C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量 D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆 【答案】D 【解析】根据向量的方向性可判断A；根据平面向量数量积定义及夹角范围可判断B；共线向量有同向和反向两种，可判断C；根据向量模的定义可判断D. 【详解】对于选项A：向量包括长度和方向，单位向量的长度相同均为，方向不定，故向量和不一定相同，故选项A错误； 对于选项B：因为，由知，不一定成立，故选项B错误； 对于选项C：任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故选项C错误； 对于选项D：因为所有单位向量的模为，且共起点，所以所有单位向量的终点在半径为的圆周上，故选项D正确； 故选：D. 【点睛】本题考查了平面向量中单位向量的概念和定义，注意向量的方向性，属于基础题. 7．（2024高一下·陕西渭南·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则存在唯一实数使得 C．若，，则 D．与非零向量共线的单位向量为 【答案】D 【分析】对A，向量模相等，则向量相等或相反；对B，向量共线定理判断；对C，利用向量平行（或共线）的性质判断，对D利用非零向量的单位向量的求解方法求解. 【详解】若，则或，所以选项A错误； 若，此时 不存在，选项B错误； 若，由，，不一定得到，选项C不正确； 由向量为非零向量，根据单位向量的定义，选项D正确. 故选：D. 8．（浙江省丽水市2023-2024学年高一下学期普通高中教学质量监控（期末）数学试题）若为非零向量，则“”是“共线”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】表示与同向的单位向量，共线可能同向共线、也可能反向共线，再由充分性、必要性的定义可求出答案. 【详解】依题意为非零向量， 表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 则表示与同向的单位向量，所以能推出共线，所以充分性成立； 共线可能同向共线、也可能反向共线，所以共线得不出，所以必要性不成立. 故选：B. 9．（2024高一·全国·课后作业）如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是（    ） A．＝ B． C．＞ D．＜ 【答案】B 【分析】根据向量的大小和方向来判断，另外再根据向量除了相等，是不能比较大小的来判断. 【详解】与是等腰梯形的两腰，则它们必不平行，但长度相同，故， 又向量不是实数，是不能比较大小的. 故选：B. 10．（2024高一下·广东揭阳·阶段练习）下列结论中正确的为（    ） A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B．向量与向量的长度相等 C．对任意向量，是一个单位向量 D．零向量没有方向 【答案】B 【分析】利用单位向量的概念可判断A选项的正误；利用向量模的定义可判断B选项的正误；取可判断C选项的正误；利用零向量的定义可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，两个单位向量的模相等，但这两个单位向量的方向不确定，故A错； 对于B选项，向量与向量的模相等，B对； 对于C选项，若，则无意义，C错； 对于D选项，零向量的方向任意，D错. 故选：B. 11．（2024高一下·新疆巴音郭楞·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．单位向量均相等 B．单位向量 C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则 【答案】C 【分析】对于A：由方向不一定相同否定结论；对于B：单位向量.否定结论； 对于C：零向量与任意向量平行.即可判断；对于D：，的方向可以是任意的. 否定结论. 【详解】对于A：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A错误； 对于B：单位向量.故B错误； 对于C：零向量与任意向量平行.正确； 对于D：若向量，满足，但是，的方向可以是任意的. 故选：C 12．（2024高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量没有方向 D．向量的模是一个正实数 【答案】A 【分析】根据向量的概念、零向量的定义及向量模的性质，即可判断各选项的正误. 【详解】A：与的长度相等，方向相反，正确； B：两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误； C：零向量的方向任意，故错误； D：向量的模是一个非负实数，故错误. 故选：A 13．（2024高一下·云南保山·期中）下列说法错误的是（    ） A．长度为0的向量叫做零向量 B．零向量与任意向量都不平行 C．平行向量就是共线向量 D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量 【答案】B 【分析】由平面向量的相关概念判断. 【详解】A. 规定长度为0的向量叫做零向量，故正确； B.规定零向量与任意向量都平行，故错误； C.平行向量就是共线向量，故正确； D.长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，故正确； 故选：B 14．（2024高一上·全国·课后作业）下列命题： ①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同； ②若，则； ③若，则四边形ABCD是平行四边形； ④若，，则； ⑤若，，； ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段； ⑦任何一个非零向量都可以平行移动． 其中，假命题的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据向量的定义，相等向量的定义，向量的模，向量共线依次判断各命题即可. 【详解】对于①，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，①正确； 对于②，若，方向不确定，则不一定相同，∴②错误； 对于③，若，、不一定相等，∴四边形不一定是平行四边形，③错误； 对于④，若，，则，④正确； 对于⑤，若，，，当时，不一定成立，∴⑤错误； 对于⑥，向量没有固定的起点，所以向量不是有向线段，但向量可以用有向线段表示，∴⑥错误； 对于⑦，任何一个非零向量都可以平行移动，∴⑦正确； 综上，假命题是②③⑤⑥，共4个， 故选：C. 15．（24-25高一下·全国·课后作业）给出下列四个命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则与的方向相同或相反 B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 C．若，则 D．“”的充要条件是“且” 【答案】B 【分析】利用向量的概念和共线向量的概念逐项判断即可. 【详解】零向量方向是任意的，且与任意向量都平行，所以当时，时，， 但不满足两向量方向相同或相反，选项A错误； 因为A，B，C，D是不共线的四点，，所以，故四边形ABCD为平行四边形， 若四边形ABCD为平行四边形，则，所以“是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件，选项B正确； 当时，，但不一定有，选项C错误； 当时，有且，当且方向相反时，， 所以“”是“且”的充分不必要条件，选项D错误． 故选：B． 二、多选题 16．（2024高一下·贵州贵阳·阶段练习）下列结论中，错误的是（    ） A．表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； B．若，则，不是共线向量； C．若，则四边形是平行四边形； D．与同向，且，则 【答案】BCD 【分析】根据平面向量的表示，共线向量的定义，以及向量的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，故A正确； 对B：若，也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，故B错误； 对C：若，则，可以方向不同，所以四边形不一定是平行四边形，故C错误； 对D：因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，故D错误. 故选：BCD. 17．（2024高一下·四川遂宁·阶段练习）下列命题中错误的有（    ） A．起点相同的单位向量，终点必相同； B．已知向量，则四边形ABCD为平行四边形； C．若，则； D．若，则 【答案】ABC 【分析】由单位向量的定义、向量共线和相等的条件，判断各选项的结论. 【详解】单位向量的方向不确定，所以起点相同的，终点不一定相同，A选项错误； 四边形ABCD中，，则,但是无法得出，故四边形ABCD不一定为平行四边形，B选项错误； 当时，满足，但不能得到，C选项错误； 由向量相等的条件可知，若，则，D选项正确. 故选：ABC 三、填空题 18．（24-25高一下·全国·课后作业）已知四边形和都是平行四边形，则与向量相等的向量为 ． 【答案】， 【分析】根据向量相等的概念直接求解. 【详解】   四边形和都是平行四边形， ，， 从而，，． 故与向量相等的向量为，． 故答案为：，. 19．（24-25高二上·全国·课后作业）给出下列命题： ①是向量的必要不充分条件； ②向量，相等的充要条件是； ③若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件. 其中正确的是 .（填序号） 【答案】①③ 【分析】对每个命题分别判断即可得到答案. 【详解】对于①，由，而显然. 从而是向量的必要不充分条件，故①正确. 对于②，向量，不相等，但满足且，故②错误. 对于③，因为，则且， 又不共线，所以四边形是平行四边形. 反之，在平行四边形中，由于平行四边形对边平行且长度相等，故有. 所以是四边形为平行四边形的充要条件，故③正确. 故答案为：①③. 20．（2024高一上·全国·课后作业）四边形，，都是全等的菱形，与相交于点，则下列关系中正确的序号是 ． ①；②；③；④． 【答案】①②④ 【分析】根据模长相等的向量、平行向量的定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于①，四边形，，都是全等的菱形，，即，①正确； 对于②，，，则与反向，，②正确； 对于③，若，则，， 若四边形，，都是全等的正方形，如下图所示， 此时，，即，③错误； 对于④，三点共线，方向相反，，④正确. 故答案为：①②④. 四、解答题 21．（2024高一下·上海·课后作业）如图，以方格纸中的格点为起点和终点的所有非零向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？ 【答案】答案见解析 【分析】分类讨论从正方形、矩形的边、对角线中计算模的个数及方向的个数． 【详解】模为的向量；模为的向量；模为的向量；模为的向量；模为的向量；模为的向量共有个模， 下面对方向分析，正方形的边对应的向量共有个方向，边长为的正方形的对角线对应的向量共个方向；的矩形的对角线对应的向量共个方向；的矩形对角线对应的向量共有个方向，所以共有个方向 22．（2024高一·湖南·课后作业）某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D．试分别作出向量，和． 【答案】答案见解析. 【分析】根据题意，在平面内任取一点为，按照要求进行绘制即可. 【详解】根据题意，在平面内任取一点为，按照题意要求方向，作线段，， 则向量，和如下所示： . 23．（2024高一·全国·课后作业）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方． (1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）； (2)求的模． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）根据行走方向和单位长度即可确定各点在坐标系中的位置，即可做出所有向量； （2）由题意可知，四边形是平行四边形，则可求得的模. 【详解】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为， 又因为D点在B点的正北方，所以， 又，所以，即D、 C两点在坐标系中的坐标为，； 即可作出、、如下图所示. （2）如图，作出向量， 由题意可知，且， 所以四边形是平行四边形， 则， 所以的模为 24．（2024高一·全国·专题练习）某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． （1）作出向量，，； （2）求 的模． 【答案】（1）见解析；（2）米 【分析】（1）利用方位根据向量的定义作出向量. （2）根据（1）作出的平面图形，利用平面几何知识求解. 【详解】（1）作出向量，，；如图所示： （2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米， 所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米， 所以AD＝＝(米)， 所以|米. 【点睛】本题主要考查平面向量的画法和向量模的求法，还考查了方位问题和平面几何知识，属于基础题. 25．（2024高一下·上海·课后作业）在下图田字格中，以图中的结点为向量的起点或终点. （1）写出与相等的向量； （2）写出与平行的向量； （3）写出的负向量. 【答案】（1），，，，； （2），，，，，，，，； （3），， 【分析】（1）根据相等向量的概念进行寻找，注意方向要相同，大小（长度）要相等, 表示向量的有向线段可以共线也可以平行； （2）根据平行向量的概念进行寻找，注意方向可以相同或相反，长度可以相同也可以不同, 表示向量的有向线段可以共线也可以平行； （3）根据负向量的概念寻找，注意方向要相反，长度要相等，表示向量的有向线段可以共线也可以平行. 【详解】（1）如图①标出了与方向相同，大小相等的向量，是与相等的向量，有，，，，； （2）与平行的向量是指与方向相同或相反的向量，长度可以相等也可以不相等，故有，，，，，，，，，如图②所示； （3）的负向量是指方向相反，长度相等的向量，故有，，，如图③所示. 26．（2024高一下·安徽六安·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相等向量的定义写出即可； （2）根据共线向量的定义直接写出. 【详解】（1）由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形知， 与的长度相等且方向相同，所以与相等的向量为. （2）由题干图可知，与方向相同，与方向相反， 所以与共线的向量有. 27．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中： (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与的相反向量； (3)写出与模相等的向量. 【答案】(1)， (2)， (3)，，，，，， 【分析】（1）根据相等向量的定义直接求解即可； （2）根据相反向量的定义直接求解即可； （3）根据模相等向量的定义求解即可. 【详解】（1）由题意，． （2）由题意，与的相反向量为：，． （3）由题意，与模相等的向量为：，，，，，，． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$