6.1.3共面向量定理-【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第二册）

6.1.3共面向量定理 目标导航 课程标准 重难点 1. 了解共面向量的概念 2..理解空间向量共面的充要条件，会 证明空间四点共面. 重点：共面向量定理的应用. 难点：共面向量定理的理解。 知识精讲 知识点01 共面向量 1.定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量. 2.共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组（x，y），使得p=xa+yb,即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示。 【即学即练1】对于空间中的任意三个向量，，，它们一定是（    ） A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量 【即学即练2】对于空间中的三个向量，，，它们一定是（    ） A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．无法判断 知识点02 空间四点共面的条件 四点共面的条件：已知，，不共面，若=x+y +z，且x+y+z =1，则P，A，B，C四点共面. 注意： （1） 共面向量不仅包括在同一个平面内的向量，还包括平行于同一平面的向量. （2）空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了. 【即学即练3】下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（    ） A． B． C． D． 能力拓展 ◆考点01 共面向量概念的理解 【典例1】如果存在三个不全为零的实数x、y、z，使得，则关于、、（    ） A．两两相互垂直 B．只有两个向量互相垂直 C．共面 D．有两个向量互相平行 【典例2】有下列命题： ①若与平行，则与所在的直线平行； ②若与所在的直线是异面直线，则与一定不共面； ③若、、两两共面，则、、一定也共面； ④若与是平面上互不平行的向量，点，点，则与、一定不共面． 其中正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【典例3】（多选）下列说法正确的是（    ） A．若向量，共线，则向量，所在的直线平行； B．已知空间任意两向量，，则向量，共面； C．已知空间的三个向量，，，则对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得； D．若A，B，C，D是空间任意四点，则有. ◆考点02 向量共面的判断与证明 【典例4】已知，是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．，共线 B．，共线 C．，，共面 D．，，不共面 【典例5】设、、是不共面的向量，下列命题中所有正确的序号是________． ①若，，则；②、、两两共面；③对空间任一向量，总存在有序实数组，使；④，，是不共面的向量． 【典例6】在长方体中，E是棱的中点，O是面对角线与的交点．试判断向量与、是否共面． 【典例7】已知向量不共面，并且，判断向量是否共面，并说明理由． ◆考点03 空间四点共面的条件 ◆类型1 四点共面的判断 【典例8】已知点分别位于四面体的四个侧面内，点是空间任意一点，则“”是“四点共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【典例9】已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面． (1)； (2)． 【典例10】下列条件中一定使点P与A，B，C共面的有（    ）个 ① ② ③ ④ A．0 B．1 C．2 D．3 ◆类型2 四点共面的证明 【典例11】如图所示，在正方体中，M、N、P、Q分别为、、、的中点，用共面向量定理证明M、N、P、Q四点共面． 【典例12】已知为两个不共线的非零向量，且，，，求证：四点共面． 【典例13】如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点． (1)试用向量表示向量； (2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面． ◆类型3 含参问题 【典例14】已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【典例15】已知、、不共面，，，，且A、B、C、D四点共面，则的值为________． 【典例16】如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，E为棱的中点，，与平面交于点M，则＝________. 分层提分 题组A 基础过关练 一、单选题 1．下面关于空间向量的说法正确的是（       ） A．若向量，平行，则，所在直线平行 B．若向量，所在直线是异面直线，则，不共面 C．若，，，四点不共面，则不共面 D．若，，，四点不共面，则不共面 2．A，B，C三点不共线，对空间内任意一点O，若，则P，A，B，C四点（    ） A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断是否共面 3．对于空间的任意三个向量，