一题多解探寻解析几何压轴破解之策与算法优化(6)非对称韦达问题讲义

非对称韦达问题一题多解 【方法概述】 非对称韦达问题：在一些定点、定值、定线问题中，常出现需要证明类似为定值的情形，但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一般称为“非对称韦达式”． 对策：和积互换；先猜后证等 【典例精析】 已知椭圆过点，点为的上顶点，且直线与直线互相垂直. (1)求的方程； (2)若不垂直于轴的直线过的右焦点，与交于两点（在轴上方），直线分别与轴交于零点，为原点，求证：为定值. 【答案】（1）（2） 【解析】（1），于是，解得，故； （2）【法一】和积互换 设，直线，代入得，则， 直线，令得； 直线，令得； 则， 而，故. 【法二】先猜后证 设，直线，代入得，则， 直线，令得； 直线，令得， 则 当时，直线与交于，此时， 一般地，要证，只要证即证 而， 故. 【法三】巧用三点共线 设，直线，代入得，则， 直线，令得； 直线，令得， 则 由三点共线可得，即 又，则 由得， 故. 【法四】一点控局：以动点C的坐标作为双参数控制动态过程 设，直线，代入得， 则解得，于是， 直线，令得； 又，则直线，令得， 于是. 【变式演练】 已知椭圆过点，点为的上顶点，且直线与直线互相垂直. (1)求的方程； (2)若不垂直于轴的直线过的右焦点，与交于两点（在轴上方），求证：为定值. 【答案】（1）（2） 【解析】 当直线l斜率不存在时，此时，，或， 因此或，，此时均有，为定值； 当直线l斜率存在时，设直线， 设，，因此， ， 联立，消得， 易知△＞0，则 【方法一】和积转换 即，因此， 所以，为定值，得证. 【方法二】配凑半代换 所以， 即，为定值，得证. 【方法三】先猜后证 要证，即证，也即， 即，即， 也即，也即，显然成立， 也即恒有，为定值，得证. 学科网（北京）股份有限公司 $