2022年高中数学知识要点归纳讲义

高 中 数 学 知 识 滴水石穿，非一日之功。 要 点 2022年6月 专题一：函数 1. 函数的运算性质 （1）根式与分数指数幂： ① ② ③ ④ （2） 指数幂的运算性质： ① ② ③ ④ ⑤ （3） 对数的运算性质： （解函数应用题时重要公式） ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 2. 解析式 （1）整体代入法：已知，求. （2）换元法：已知，求. Step1：令，并求出新元的取值范围； Step2：反解出（若不能反解出，则用配凑法.）； Step3：代入，求出，再将换成. （3）待定系数法：已知函数类型：如7类基本初等函数. （4）对称法：已知函数的对称性（奇偶性），即将函数图象的对称转化为点的对称求解. 如：已知函数是定义在上的偶函数，当时，，求的解析式. 解：因为函数是定义在上的偶函数，所以函数的图象关于轴 对称.（我们知道关于轴对称的点的横坐标相反，纵坐标相等.） 又当时，， 故当时，.（只需横坐标相反，纵坐标,即不变即可.） 所以，. （5）解方程组法：已知关于与或与或与 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出.（多余奇偶性结合） 构造方程组时常用的代换有： ①“”代换“” ②“”代换“” ③“”代换“” ④“”代换“” 3. 图象 （1）7类基本初等函数 ①一次函数：. ②二次函数：，. （ⅰ）定轴定区间： （ⅱ）动轴定区间： （ⅲ）定轴动区间： ③反比例函数： ④指数函数： ⑤对数函数： ⑥幂函数：（1）定义域和值域：将函数解析式化为根式即可得出. （2）奇偶性：当为偶数时，为偶函数；当为奇数时，为奇函数. （2）单调性：当时，在单增；当时，在单减.【在上的单调性利用奇偶性推导】 （4）凹凸性：当时，在下凸；当时，在上凸. ⑦三角函数：，， （2）4种图象变换（） ①平移变换：左加右减只针对自变量加减 上加下减 注意：是将函数的图象向左平移个单位，而不是个单位. ②翻折变换：的图象：可先作出的图象，保留轴上方的图象，再将轴下方的图象翻折到轴上方. 例： ③对称变换：的图象：可先作出当时，的图象，再将它关于轴对称即可. 例： ④伸缩变换：参照三角函数的图象变换 （3）3类特殊函数 ①分式函数： （ⅰ） 分子分母为齐次式——分离常数. （ⅱ）分子或分母为单项式——分子分母同除. （ⅲ）不是齐次式且分子或分母不是单项式——先换元，即令，再分子分母同除. （ⅳ）分子或分母为根式——先换元，再分子分母同除. 函数的快速作图方法： 作图方法：两线一点法 Step1：作出直线：（定义域分母不为0）； Step2：作出直线：（值域的系数比）； Step3：取一个特殊点，确定象限（如）. 例： ②双勾函数： 牢记两点：解析式（正比例+反比例，且系数为正）和图象最低点的横坐标（由解得）. ③双绝对值函数（选修4—5部分）： 作图方法：分类讨论，去掉绝对值. 例： 4. 性质 （1）定义域 ①有解析式的函数的定义域： （ⅰ）分式：分母不为0； （ⅱ）偶次根式：被开方数非负； （ⅲ）零次幂：底数不为0； （ⅳ）对数：真数大于0； （ⅴ）正切函数：. ②抽象函数的定义域： 绝招：（ⅰ）牢记定义域是指自变量的取值范围； （ⅱ）若对应关系相同，则作用对象的取值范围一定相同，即同一个“”括号内的取值范围相同. ③定义域的逆向应用：转化为恒成立问题. （2）值域 ①图象法（最常用的方法）：7类基本初等函数 ②单调性法： 形如：， ， ③换元法： 形如，（换元，令） ，（换元，令） ，（换元，令） （换元，令） ④基本不等式法： 形如 ⑤几何意义法： 形如，（转化为数轴上一动点到两定点、的距离之和.） （转化为两点、连线的斜率.） （转化为两点、