2023届新高考数学高频考点专项练习：专题七 三角恒等变换与解三角形综合练习（C卷）

专题七 三角恒等变换与解三角形综合练习（C卷） 1.在中，（a，b，c分别为内角A，B，C的对边），则的形状为( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 2.已知，则的值为( ) A. B. C. D. 3.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若，，则的面积是( ) A.3 B. C. D. 4.已知，，则( ) A. B. C. D. 5.若，则( ) A. B. C. D. 6.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且，则建筑物的高度为( ) A. B. C. D. 7. (多选)下列各式中，值为的是( ) A. B. C. D. 8. (多选)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的有( ) A.若，则 B.若，则一定为等腰三角形 C.若，则一定为直角三角形 D.若，，且该三角形有两解，则边AC的范围是 9. (多选)《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边a，b，c，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论正确的是( ) A.的周长为 B.三个内角A，B，C满足 C.外接圆的直径为 D.的中线CD的长为 10.已知，且，则________________. 11.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则_____________. 12.已知锐角满足，，则___________. 13.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则_____________. 14.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D是边AB上一点，. （1）若CD平分，求a； （2）若，，求c. 15.从①，，②，，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）若且，求的值； （2）若D是线段AC上的一点，，________________，求BD的长. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 答案以及解析 1.答案：B 解析：，，，即，整理得，为直角三角形.故选B. 2.答案：C 解析：，， . 3.答案：B 解析：由可得，又由余弦定理得，所以，解得.则.故选B. 4.答案：A 解析：由已知可得.，，，.故选A. 5.答案：D 解析：由，得.故选D. 6.答案：D 解析：设建筑物的高度为.由题图知，，，.在和中，分别由余弦定理得，，①.②，.③由①②③，解得或（舍去）.即建筑物的高度为. 7.答案：BD 解析：A不符合，；B符合，；C不符合，；D符合，.故选BD. 8.答案：AC 解析：由正弦定理及大边对大角可知A正确；由可得或，则是等腰三角形或直角三角形，故B错误；由正弦定理可得，又，则.因为，所以，所以，因为，所以，故C正确；D结合及画圆弧法可知，只有时满足条件，故D错误.故选AC. 9.答案：ABC 解析：由正弦定理可得.设，，，，解得，的周长为，故A正确；由余弦定理得，.，，，故B正确；由正弦定理知，外接圆的直径，故C正确；由中线定理得，即，，故D错误.故选ABC. 10.答案： 解析：解法一 由，且可得，故，则. 解法二 由，且可得，则，所以. 11.答案：2 解析：，，，，. ， ，，.. 12.答案： 解析：，为锐角，，， ，，. . 又，. 13.答案： 解析：由及正弦定理可得. 又， 所以， 整理可得. 又， 所以，所以. 又，，所以. 又，所以，所以. 14.答案：（1） （2） 解析：（1）在中，由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得，， 因为，， 所以，， 所以， 所以. （2）因为，所以， 所以， 在中，，， 所以由余弦定理得，， 即，得， 因为，所以. 15.答案：（1） （2）见解析 解析：（1）在中，由及， 得， 所以， 由正弦定理得， 又，所以. （2）方案一：选条件①. 由及，得，. 设，，，则，， 所以，， 所以，. 因为，，所以，所以， 由余弦定理得，得，. 由得， 得，即. 方案二：选条件②. 由及，得，. 设，，， 因为，所以， 所以， 又，所以，（负值舍去）， 所以，， 所以，. 因为，，所以，所以， 由余弦定理得，得，， 由得， 得，即. 方案三：选条件③. 由及，得，. 由，得线段B