北京市房山区2022-2023学年高一上学期诊断性评价数学试题

房山区 2022-2023 学年度第一学期诊断性评价 高一数学 第一部分(选择题 共 50 分) 一、选择题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合 题目要求的一项。 (1)已知 A(-2,1), B(1, 3) ,则线段 AB 中点的坐标为 (A) (3, 2) (B) (,1) (C) (-1, 4) (D) (, 2) (2)已知 2x = 3 ,则 x = (A) log2 3 (B) log3 2 (C) (D) (3)若 a > b ,则下列不等式一定成立的是 (A) a2 > b2 (B) ln a > ln b (C) (D) (4)在△ ABC 中, D 为 BC 的中点,则 (A) (B) (C) (D) (5)以下是某中学 12 名学生的一次政治考试成绩. 则这组数据的 75% 分位数是 (A) 87.5 (B) 88 (C) 88.5 (D) 89 (6)一个盒子中有若干白色围棋子,为了估计其中围棋子的数目,小明将 100 颗黑色的 围棋子放入其中,充分搅拌后随机抽出了 20 颗,数得其中有 5 颗黑色的围棋子,根 据这些信息可以估计白色围棋子的数目约为 (A) 200 颗 (B) 300 颗 (C) 400 颗 (D) 500 颗 (7)已知向量 a = (1, x), b = ( x, 4) ,则“ x = 2 ”是“ a ∥b ”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (8)设,则的大小关系为 A. B. C. D. (9)从含有两件正品和一件次品的 3 件产品中,按先后顺序任意取出两件产品,每次取出后不放回. 记事件 A 为“第一次取到正品”,事件 B 为“第二次取到正品”. P( A) ,P(B) 分别表示事件 A , B 发生的概率. 下列 4 个结论中正确的是 ① P( A) = P(B) ② P( A) < P(B) ③ P( AB) = P( A)P(B) ④ P( A + B) = P( A) + P(B) (A)① (B)①③ (C)①④ (D)②③ (10)已知函数其中 a > 0 且 a ≠ 1 . 若关于 x 的方程f ( x) a 2 的解集有 3 个元素,则 a 的取值范围为 (A) (0, 1) (B) (1, 2) (C) (2, 3) (D) 第二部分(非选择题 共 100 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (11) (12)已知向量 a = (2,1) , b (0, 2) ,则 a 2b . (13)某中学调查了某班全部 30 名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表(单位:人) 从该班随机选 1 名同学,则该同学参加书法社团的概率为 ;该同学至少参加上述一个社团的概率为 . (14)已知函数,当 a = 0 时,的值域为 ;若 在定义域上是增函数,则 a 的取值范围是 . (15)已知向量 a = (1, 1) ,非零向量 b 满足 | a + b | = | a b | ,请写出 b 的一个坐标 . (16)某电影制片厂从 2011 年至 2020 年生产的动画影片、纪录影片的时长(单位:分钟)如下图所示.下列四个结论中,所有正确结论的序号是 . ①2011 年至 2020 年生产的动画影片时长的中位数为 275 分钟; ②从 2011 年至 2020 年中任选一年,此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率为; ③将 2011 年至 2020 年生产的动画影片、纪录影片时长的平均数分别记为 ,, 则 =; ④将 2011 年至 2020 年生产的动画影片、纪录影片时长的方差分别记为 , , 则= . ( 高一 数学 第 2 页 ( 共 5 页) ) 三、解答题共 5 小题,共 70 分。 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (17)(本小题 14 分) 已知向量 a, b 不共线,且 = 2a b , = 3a + b , = a + λb . (Ⅰ)将 用 a, b 表示; (Ⅱ)若 ∥ ,求 λ 的值; (Ⅲ)若 λ 3 ,求证: A, B, C 三点共线. (18)(本小题 14 分) 已知甲运动员的投篮命中率为 0.8 ,乙运动员投篮命中率为 0.7 ,甲、乙各投篮一次. 设事件 A 为“甲投中”,事件 B 为“乙投中”. (Ⅰ)求甲、乙二人中恰有一人投中的概率; (Ⅱ)求甲、乙二人中至少有一人投中的概率. (19)(本小题 14 分) 已知函数 f ( x) = lg(4 x) + lg(3 + x) . (Ⅰ)求 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)求满足 f ( x) > 1 的 x 的取值范围. (20)(本