13 层级二 专题三 专项培优(五)　立体几何中的动态问题模型（教师用书）-【金版新学案】2023高考文科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

立体几何中的动态问题主要包括：空间中动点的轨迹判断，求轨迹的长度及动角的范围，判断动点、动线、动面的位置关系等．求解的一般方法是利用圆锥曲线的定义判断动点轨迹是什么样的曲线；利用空间向量坐标运算求轨迹的长度及范围等． 1．动点轨迹问题 (1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是直线CD，AB上的动点，点P是△A1C1D内的动点(不包括边界)，记直线D1P与MN所成角为θ，若θ的最小值为，则点P的轨迹是(　　) A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．抛物线的一部分 D．双曲线的一部分 (2)(2022·东北三校联考)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则在侧面ABB1A1上动点P的轨迹与棱AB，BB1所围成的图形面积是________． 解析：　(1)把MN平移到平面A1B1C1D1中，直线D1P与MN所成角为θ，直线D1P与MN所成角的最小值是直线D1P与平面A1B1C1D1所成角，即原问题转化为：直线D1P与平面A1B1C1D1所成角为，点P在平面A1B1C1D1的投影为圆的一部分，因为点P是△A1C1D内的动点(不包括边界)，所以点P的轨迹是椭圆的一部分．故选B． (2)以点A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)．设点P(x，0，z)，则0≤x≤2，0≤z≤2，则点P到直线A1B1的距离为2－z． 因为BC⊥平面AA1B1B，BP平面AA1B1B，所以BC⊥BP，所以点P到直线BC的距离||＝，由已知可得＝2－z，化简可得z＝x－．当x＝2时，z＝1，即点P的轨迹交棱BB1于点(2，0，1)． 因此，在侧面AA1B1B上动点P的轨迹与棱AB，BB1所围成的图形面积是(x－)dx＝0＝． 答案：　(1)B　(2) 2．动态的最值与范围问题 (1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，P是A1B上的动点，有下面四个结论： ①DP的最小值为； ②DP的最小值为； ③AP＋PC1的最小值为； ④AP＋PC1的最小值为． 则正确的命题序号是(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ (2)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________cm3． 解析：　(1)求DP的最小值，即求△DA1B的边A1B上的高，易知A1B＝A1D＝，BD＝，所以A1B边上的高h＝为DP的最小值．连接A1C1，BC1，得△A1BC1，以A1B所在直线为轴，将△A1BC1旋转到平面ABB1A1上，设点C1的新位置为C′，连接AC′，则AC′即为所求的最小值(图略)． 易知AA1＝2，A1C′＝， cos∠AA1C′＝cos(∠AA1B＋∠BA1C′)＝－， 所以AC′＝＝． (2)如图，连接OD，交BC于点G， 由题意，知OD⊥BC，OG＝BC． 设OG＝x，则BC＝2x，DG＝5－x， 三棱锥的高h＝＝＝， S△ABC＝×2x×3x＝3x2，则三棱锥的体积V＝S△ABC·h＝x2·＝·． 令f(x)＝25x4－10x5，x∈(0，)， 则f′(x)＝100x3－50x4． 令f′(x)＝0，得x＝2．当x∈(0，2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(2，)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故当x＝2时，f(x)取得最大值80，则V≤×＝4． 所以三棱锥体积的最大值为4 cm3． 答案：　(1)B　(2)4 空间中动点轨迹问题变化并不多，一般此类问题可以从三个角度进行分析处理，一是从曲线定义或函数关系出发给出合理解释；二是平面与平面交线得直线或线段；三是平面和曲面(圆锥，圆柱侧面，球面)交线得圆、圆锥曲线．很少有题目会脱离这三个方向．在解决立体几何中的“动态”问题时，对于一些很难把握的运动模型(规律)的求值问题，可以通过构建某个变量的函数，以数解形．在函数建成后，可用一次函数的端点法，二次函数的配方法、公式法，函数有界法(如三角函数等)及高阶函数的拐点导数法等求解．　　 学生用书第49页 即时练1．(2022·新余模拟)点P为棱长是2的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点M为B1C1的中点，若满足DP⊥BM，则动点P的轨迹的长度为(　　) A．π B．2π C．4π D．2π C　[根据题意知，该正方体的内