9 层级二 专题二 专项培优(三)　数列的公共项及奇偶项讨论问题模型（教师用书）-【金版新学案】2023高考文科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

数列中的公共项问题是对两个数列合成一个新数列进行研究，而数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行研究，都是要充分利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列问题． 1．数列的公共项问题 在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们的公共项从小到大依次排列构成的数列的通项公式及公共项的个数． 解析：　法一：由题可知，第一个数列是首项为2，公差为3的等差数列，记为{an}，则其通项公式为an＝3n－1；第二个数列是首项为2，公差为5的等差数列，记为{bm}，则其通项公式为bm＝5m－3．若数列{an}的第n项与数列{bm}的第m项相同，即an＝bm，则3n－1＝5m－3，所以n＝＝m＋．又n∈N*，所以必有m－1＝3k，即m＝3k＋1(k为非负整数)，又2≤5m－3≤197，所以1≤m≤40，所以m＝1，4，7，…，40．所以两数列的公共项为2，17，32，…，197．设公共项从小到大依次排列构成的数列为{cp}，则其通项公式为cp＝15p－13，公共项有＋1＝14(个)． 法二：设两数列的公共项从小到大依次排列构成的数列为{cp}，则c1＝2．因为两数列为等差数列，且易知它们的公差分别为3，5，所以数列{cp}仍为等差数列，且公差d＝15．所以cp＝c1＋(p－1)d＝2＋(p－1)×15＝15p－13．令2≤15p－13≤197，知1≤p≤14．所以两数列共有14个公共项． 有关两个等差数列公共项策略的问题，处理方式一般有两种：一是先利用两数列的公共项组成的新等差数列的公差为两个等差数列公差的最小公倍数求新数列的公差，然后找到第一项后用通项公式解决；二是从通项公式入手，建立am＝bn这样的方程，利用n＝f(m)，借助n，m均为正整数，得到n(或m)可取的整数形式，如本题中的m＝3k＋1，再求一定范围内的整数解，从而解决问题．　　 即时练1．(2022·安徽江南十校高三联考)将数列{3n－1}与{2n＋1}的公共项从小到大依次排列得到数列{an}，则{an}的第10项为(　　) A．210－1　　B．210＋1　　C．220－1　　D．220＋1 D　[设bn＝3n－1，cn＝2n＋1．令bm＝cn，m，n∈N*，则3m－1＝2n＋1，解得m＝．因为m，n∈N*，所以n＝2，4，6，…，即a1＝c2，a2＝c4，a3＝c6，…，所以a10＝c20＝220＋1．故选D．] 即时练2．(2020·新高考Ⅱ卷)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________． 解析：　因为数列{2n－1}是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列{3n－2}是以1为首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{an}是以1为首项，6为公差的等差数列，所以{an}的前n项和为n·1＋·6＝3n2－2n． 答案：　3n2－2n 2．数列中的奇、偶项讨论问题 类型一　数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n)) 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＋an＝4n． (1)求数列{an}的前100项和S100； (2)求数列{an}的通项公式． 解析：　(1)因为a1＝1，an＋1＋an＝4n， 所以S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100) ＝4×1＋4×3＋…＋4×99 ＝4×(1＋3＋5＋…＋99) ＝4×502＝10 000． (2)由题意，an＋1＋an＝4n，① an＋2＋an＋1＝4(n＋1)，② 由②－①得，an＋2－an＝4， 由a1＝1，a1＋a2＝4，得a2＝3． 当n为奇数时，an＝a1＋(－1)×4＝2n－1， 当n为偶数时，an＝a2＋(－1)×4＝2n－1． 综上所述，an＝2n－1． 类型二　含有(－1)n的类型 数列{an}中，a1＝1，a2＝2，数列{bn}满足bn＝an＋1＋(－1)nan，n∈N*． (1)若数列{an}是等差数列，求数列{bn}的前100项和S100； (2)若数列{bn}是公差为2的等差数列，求数列{an}的通项公式． 解析：　(1)因为{an}为等差数列，且a1＝1，a2＝2， 所以公差d＝1，所以an＝n． 所以bn＝ 即bn＝ 所以bn的前100项和 S100＝(b1＋b3＋…＋b99)＋(b2＋b4＋…＋b100) ＝50＋(5＋9＋13＋…＋201) ＝50＋50×5＋×4＝5 200． (2)由题意得，b1＝a2－a1＝1，公差d＝2，所以bn＝2n－1． 所以 由②－①得，a2n＋1＋a2n－1＝2， 所以a2n＋1＝2－a2n－1， 又因为a1＝1，所以a1＝a3＝a5＝…＝1， 所以a2n－1＝1，