8 层级二 专题二 专项培优(二)　引导性构造与非引导性构造问题模型（教师用书）-【金版新学案】2023高考文科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

已知数列的递推关系求解通项公式是命题的热点，题目很好地考查学生逻辑推理与数学运算核心素养．一般地，对于递推式形如an－an－1＝manan－1(n≥2，m为常数，m≠0)，an＝Aan－1＋B(n≥2，A，B是常数，B≠0，A≠1且A≠0)和bn＋2＝mbn＋1－(m－1)bn(m为常数，m≠1且m≠0)的数列，可以通过将递推式进行适当的变形，构造出等差数列或等比数列，从而求得原数列的通项公式． 1．引导性构造数列问题 (1)(2022·河南九师联盟二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an－n，则{an＋1}是________数列(填“等差”或“等比”)；数列的通项公式an＝____________． (2)已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1＋2an．某同学已经证明了数列{an＋1－2an}和数列{an＋1＋an}都是等比数列，则数列{an}的通项公式an＝____________． 解析：　(1)由Sn＝an－n，得a1＝－3，再由Sn＝an－n，得Sn＋1＝an＋1－n－1，两式相减得an＋1＝an＋1－an－1，即an＋1＋1＝－2(an＋1)，故数列{an＋1}是以－2为首项，－2为公比的等比数列，所以an＋1＝(－2)×(－2)n－1＝(－2)n，所以an＝(－2)n－1． (2)因为an＋2＝an＋1＋2an，所以当n＝1时，a3＝a2＋2a1＝5．令bn＝an＋1－2an，则{bn}为等比数列．又b1＝a2－2a1＝1，b2＝a3－2a2＝－1，所以等比数列{bn}的公比q＝＝－1，所以bn＝(－1)n－1，即an＋1－2an＝(－1)n－1．① 令cn＝an＋1＋an，则{cn}为等比数列，c1＝a2＋a1＝4，c2＝a3＋a2＝8，所以等比数列{cn}的公比q1＝＝2，所以cn＝4×2n－1＝2n＋1，即an＋1＋an＝2n＋1．② 联立①②，解得an＝． 答案：　(1)等比　(－2)n－1　(2) (2019·全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4． (1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列； (2)求{an}和{bn}的通项公式． 解析：　(1)证明：由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)．又因为a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为1，公比为的等比数列．由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2．又因为a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1． 所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－， bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋． 引导性构造数列问题解决的关键是将给定的递推关系变形为题目所给的引导性构造的模型，像例1(1)中{an＋1}，(2)中{an＋1－2an}和{an＋1＋an}，例2中{an＋bn}和{an－bn}等模型，然后根据等差或等比数列的定义求解即可．　　 即时练1．(2022·安庆二模)已知数列{an}满足a1＝，n(n＋1)anan－1＋(n＋1)an－nan－1＝0，n≥2，n∈N*． (1)求证：数列为等差数列； (2)设数列{(2n＋1)a}的前n项和Sn．证明：≤Sn≤1． 证明：　(1)因为(n＋1)an＝，＝1，所以＝＝＋1，所以－＝1，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列． (2)由(1)知：＝n，所以an＝，(2n＋1)a＝＝＝－，所以Sn＝＋＋…＋＝1－，所以≤Sn＜1． 即时练2．(2021·天津卷)已知{an}是公差为2的等差数列，其前8项和为64，{bn}是公比大于0的等比数列，b1＝4，b3－b2＝48． (1)求{an}和{bn}的通项公式． (2)记cn＝b2n＋，n∈N*． ①证明{c－c2n}是等比数列； ②证明＜2(n∈N*)． 解析：　(1)因为数列{an}是公差为2的等差数列，且前8项和为64，所以8a1＋×2＝64，解得a1＝1，所以an＝a1＋(n－1)×2＝1＋2(n－1)＝2n－1．设等比数列{bn}的公比为q(q＞0)，因为b1＝4，b3－b2＝48，所以4q2－4q＝48，又q＞0，所以q＝4，所以bn＝b1qn－1＝4n． (2)证明：①因为cn＝b2n＋＝42n＋，所以c－c2n＝(42n＋)2－(44n＋)＝2×4n，所以＝＝4(常数)，所以{c－c2n}是等比数列． 学生用书第36页 2．非引导性构造数列问题 (1)(2022·安庆质检)在数列{an}中，a1＝1，an＝2an