6 层级二 专题二 第一讲　等差数列、等比数列（教师用书）-【金版新学案】2023高考文科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

专题二　数列 学生用书第29页 第一讲　等差数列、等比数列 1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　) A．14 B．12 C．6 D．3 D　[设等比数列{an}的公比为q，q≠0，若q＝1，则a2－a5＝0，与题意矛盾， 所以q≠1，则解得所以a6＝a1q5＝3．故选D．] 2．(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 A　[易知S2，S4－S2，S6－S4构成等比数列，由等比中项得S2(S6－S4)＝(S4－S2)2，即4(S6－6)＝22，所以S6＝7．故选A．] 3． (2020·全国卷Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　) A．3 699块　B．3 474块　C．3 402块　D．3 339块 C　[设由内到外每环的扇面形石板的块数构成数列{an}，由题意知a1＝9．又因为向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，所以数列{an}为公差为9的等差数列． 设每层环数为n(n∈N*)，设数列{an}的前n项和为Sn，由等差数列的性质知，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝9n2，则9n2＝729，解得n＝9．则数列{an}共有9×3＝27项，故三层共有扇面形石板(不含天心石)的块数即为数列{an}的前27项和，即27×9＋×9＝3 402，故选C．] 4．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________． 解析：　由2S3＝3S2＋6可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6， 化简得2a3＝a1＋a2＋6，即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2． 答案：　2 5．(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4． (1)证明：a1＝b1； (2)求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数． 解析：　(1)证明：设等差数列{an}的公差为d． 由a2－b2＝a3－b3，知a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，故d＝2b1． 由a2－b2＝b4－a4，知a1＋d－2b1＝8b1－(a1＋3d)， 故a1＋d－2b1＝4d－(a1＋3d)，故a1＋d－2b1＝d－a1，整理得a1＝b1，得证． (2)由(1)知d＝2b1＝2a1，由bk＝am＋a1知：b1·2k－1＝a1＋(m－1)·d＋a1， 即b1·2k－1＝b1＋(m－1)·2b1＋b1，即2k－1＝2m， 因为1≤m≤500，故2≤2k－1≤1 000，解得2≤k≤10， 故集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数为9个． 1．考向预测：高考对此部分内容主要以选择题、填空题、解答题三种形式考查，难度为中等偏下，其中选择、填空题主要考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式的理解、基本量的运算以及等差、等比数列的性质，而解答题则主要考查等差、等比数列的证明以及两种数列的综合应用． 2．素养考查：数学抽象、数学运算、逻辑推理． 考点一　等差、等比数列的基本运算 (2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0．5，＝k1，＝k2，＝k3．已知k1，k2，k3成公差为0．1的等差数列，且直线OA的斜率为0．725，则k3＝(　　) A．0．75 B．0．8 C．0．85 D．0．9 D　[设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3， 依题意，有k3－0．2＝k1，k3－0．1＝k2，且＝0．725， 所以＝0．725，故k3＝0．9，故选D．] (2020·全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8． (1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为数列{log3an}的前n项和．若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m． 解析：　(1)设{an}的公比为q，则an＝a1qn－1． 由已知得解得 所以{an}