5 层级二 专题一 专项培优(一)　平面向量与解三角形（教师用书）-【金版新学案】2023高考文科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

1．三角形四心与“奔驰定理”问题模型 定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0． 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用． (1)已知O是△ABC内部一点，满足＋2＋m＝0，且＝，则实数m等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 (2)若△ABC内接于以O为圆心，以1为半径的圆，且3＋4＋5＝0，则△ABC的面积为________． 解析：　(1)由＋2＋m＝0得，S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m． 又＝，所以＝，所以m＝4．故选C． (2)由3＋4＋5＝0得3＋4＝－5，所以(3＋4)2＝(－5)2， 所以·＝0，即OA⊥OB．所以S△AOB＝×1×1＝． 由奔驰定理知，S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝3∶4∶5，所以＝，所以＝， 即S△ABC＝． 答案：　(1)C　(2) (1)已知点P，Q在△ABC内，＋2＋3＝2＋3＋5＝0，则等于(　　) A． B． C． D． (2)过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，＝，＝n，则n的值为________． 解析：　(1)根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，S△QBC∶SQAC∶SQAB＝2∶3∶5． 所以S△PAB＝S△QAB＝S△ABC，所以PQ∥AB，又因为S△PBC＝S△ABC，S△QBC＝S△ABC，所以＝－＝．故选A． (2)延长CO交AB于M点(图略)．因为O为△ABC的重心，所以＝＝·(＋)＝＋＝·＋·，所以＝＋．又因为P，O，Q三点共线，所以＋＝1，所以n＝． 答案：　(1)A　(2) “奔驰定理”与三角形“四心” 已知点O在△ABC内部，有以下四个推论： (1)若O为△ABC的重心，则＋＋＝0． (2)若O为△ABC的外心，则sin 2A·＋sin 2B·＋sin 2C·＝0． (3)若O为△ABC的内心，则a·＋b·＋c·＝0． 备注：若O为△ABC的内心，则sin A·＋sin B·＋sin C·＝0也对． (4)若O为△ABC的垂心，则tan A·＋tan B·＋tan C·＝0．　　 即时练1．已知O为△ABC内一点，满足＋2＋3＝3＋2＋，则等于(　　) A． B． C． D． B　[＋2＋3＝3(－)＋2(－)＋(－)＝－2＋＋，所以3＋＋2＝0． 由奔驰定理得 ＝＝．故选B．] 即时练2．已知点A，B，C，P在同一平面内，＝，＝，＝，则S△ABC∶S△PBC等于(　　) A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6 B　[由＝得，－＝(－)，整理得＝＋＝＋， 又＝－，所以－＝＋，整理得4＋6＋9＝0，由奔驰定理得，S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4．故选B．] 即时练3．点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设＝λ＋μ，则实数λ和μ的值分别为(　　) A．， B．， C．， D．， A　[由奔驰定理S△AOB·＋S△BOC·＋S△AOC·＝0得，4＋3＋2＝0， 由＝λ＋μ得，＝λ(－)＋μ(－)，所以μ＋(1－λ－μ)＋λ＝0，所以＝＝，所以λ＝，μ＝．故选A．] 2．向量极化恒等式问题模型 极化恒等式：a·b＝()2－()2． 学生用书第27页 变式：a·b＝－，a·b＝－． 极化恒等式的三角形模式：如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则·＝2－2． 极化恒等式的几何意义：平面向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，即a·b＝(||2－||2)． (1)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________． (2)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．·＝4，·＝－1，则·的值为________． 解析：　(1)·＝2－()2＝9－×100＝－16． (2)由·＝4得，2－2＝4， 由·＝－1得，2－2＝－1， 因E，F分别为AD上的两个三等分点， 所以＝3，＝2，所以可以求得2＝，2＝．又·＝2－2＝42－2＝4×－＝． 答案：　(1)－16　(2) (1)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　) A．－2 B．－ C．－ D．－1 (2)(2020·天津卷)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为________． 解析