专题2-4 导数证明不等式归类（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）

专题2-4 导数证明不等式归类 目录 讲高考 1 题型全归纳 2 【题型一】不等式证明基础思维 2 【题型二】极值点偏移1：零点型 2 【题型三】极值点偏移2：水平线交点型 3 【题型四】极值点偏移3：极值型 3 【题型五】极值点偏移4：多极值点型 4 【题型七】零点偏移型 4 【题型八】条件不等式（等式）型 5 【题型十】数列不等式型 5 【题型十一】水平线分割型（凸凹翻转型） 5 【题型十二】两根差的绝对值型 6 【题型十三】两边夹放缩型 6 【题型十四】三角函数型不等式 7 专题训练 7 讲高考 1.已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)证明：若有两个零点，则． 2022年高考全国甲卷数学（理）真题 2.已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 2022年新高考全国II卷数学真题 3.已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 2022年新高考北京数学高考真题 4.已知，函数．设，记曲线在点处的切线为l． (1)求l的方程； (2)设l与x轴交点为．证明： ①；②若，则． 2002年普通高等学校招生考试数学（理）试题（新课标） 题型全归纳 【题型一】不等式证明基础思维 【讲题型】 例题1.已知函数的图象在点处的切线方程为. （1）求在内的单调区间. （2）设函数，证明：. 【讲技巧】 应用导数证明不等式基础思维： 欲证f（x）>g（x），移项为h（x）=f（x）-g（x），证明h（x）min>0,求导求最值 【练题型】 1.已知函数，. （1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （2）若函数的图象在点处的切线平行于轴，求证：. 2.已知函数． （1）证明： （2）若对任意都有，求的最大值． 【题型二】极值点偏移1：零点型 【讲题型】 例题1.已知函数，． （1）若，求函数在为自然对数的底数）上的零点个数； （2）若方程恰有一个实根，求的取值集合； （3）若方程有两个不同的实根，，求证：． 【讲技巧】 零点型，注意数形结合思想的应用： 1. 零点是否是特殊值，或者在某个确定的区间之内。 2. 零点是否可以通过构造零点方程，进行迭代或者转化。 3. 将方程根的判定转化为函数的单调性问题处理 【练题型】 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）当函数与函数图象的公切线经过坐标原点时，求实数的取值集合； （3）证明：当时，函数有两个零点，，且满足． 【题型三】极值点偏移2：水平线交点型 【讲题型】 例题1..已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若，证明：. 【练题型】 已知函数在点处的切线方程与轴平行． （1）求函数的极值； （2）若函数有两个不同的零点，． ①求的取值范围；②证明：． 【题型四】极值点偏移3：极值型 【讲题型】 例题1.已知函数． （1）讨论f（x）的极值点的个数； （2）若f（x）有3个极值点x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），证明：x1x3＜x22． 【练题型】 已知，关于x的方程的不同实数解个数为k. （1）求k分别为1，2，3时，m的相应取值范围； （2）若方程的三个不同的根从小到大依次为，求证：. 【题型五】极值点偏移4：多极值点型 【讲题型】 例题1.已知，关于x的方程的不同实数解个数为k. （1）求k分别为1，2，3时，m的相应取值范围； （2）若方程的三个不同的根从小到大依次为，求证：. 【讲技巧】 一般情况下，第一步转化是消元，把三个根用一个变量t表示， 第二步构造关于变量的新函数g（t），证明新函数g（t）的最小（大）值的正负， 第三步由导数求得极小（大）值点t0的范围，并对变形，最终转化为关于的多项式不等式，问题易于解决． 【练题型】 ．已知函数（其中为常数）． （1）当时，求函数的单调减区间和极值点； （2）当时，设函数的3个极值点为，，，且， ①求的取值范围； ②证明：当时，． 【题型七】零点偏移型 【讲题型】 例题1.已知，． （1）求在处的切线方程； （2）已知的两个零点为，且为的唯一极值点． ①求实数的取值范围； ②求证：． 【练题型】 设函数，(). （1）若在处的切线平行于直线，求实数的值； （2）设函数，判断的零点的个数； （3）设是的极值点，是的一个零点，且，求证：. 【题型八】条件不等式（等式）型 【讲题型】 例题1.已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若，分别解答下面两题： （i）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围； （ii）若，是两个不相等的正数，，求证：． 【练题型】 已知函数，． （1）若在处取得极值，求的值； （2）设，试讨论函数的单调性； （3）当时，若存在实数，满足，求证：． 【题型十】数