9 层级二 专题二 第二讲　数列求和及其综合应用（教师用书）-【金版新学案】2023高考理科数学大二轮专题复习与测试（老教材)

第二讲　数列求和及其综合应用 1．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________． 解析：　因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝－2n－1，所以S6＝＝－63. 答案：　－63 2．(2021·新高考Ⅰ卷)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm，20 dm×6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240 dm2，对折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180 dm2，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n次，那么＝________ dm2. 解析：　对折3次可以得到 dm×12 dm， dm× dm， dm× dm，20 dm× dm，共四种不同规格的图形，对折4次可以得到 dm×12 dm， dm× dm， dm× dm， dm× dm，20 dm× dm，共五种不同规格的图形，由此可以归纳出对折n次可得到(n＋1)种不同规格的图形，每种规格的图形的面积均为 dm2， 所以＝dm2，记Tn＝＋＋…＋，则Tn＝＋＋…＋， 所以Tn－Tn＝Tn＝1＋－＝－，所以Tn＝3－，所以＝ dm. 答案：　5　240－ 3．(2022·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列． (1)求{an}的通项公式； (2)证明：＋＋…＋<2. 解析：　(1)因为a1＝1，所以S1＝a1＝1，所以＝1， 又因为是公差为的等差数列， 所以＝1＋(n－1)＝，所以Sn＝， 所以当n≥2时，Sn－1＝， 所以an＝Sn－Sn－1＝－， 整理得：(n－1)an＝(n＋1)an－1， 即＝， 所以an＝a1×××…×× ＝1×××…××＝， 显然对于n＝1也成立， 所以{an}的通项公式an＝. (2)证明：＝＝2， 所以＋＋…＋ ＝2＝2<2. 学生用书第34页 4.(2020·全国卷Ⅲ)设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n. (1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； (2)求数列{2nan}的前n项和Sn. 解析：　(1)由a1＝3，an＋1＝3an－4n，得a2＝5，a3＝7. 猜想an＝2n＋1.证明如下： 由an＋1＝3an－4n，得an＝3an－1－4n＋4(n≥2)， 则an－(2n＋1)＝3[an－1－(2n－1)]．又a1＝3，知a1－3＝0，所以an－(2n＋1)＝0，则an＝2n＋1. (2)由(1)得2nan＝(2n＋1)2n， 所以Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n.① 从而2Sn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n＋1)×2n＋1.② ①－②得 －Sn＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)×2n＋1. 所以Sn＝(2n－1)2n＋1＋2. 1．考向预测：高考对此部分内容主要以选择题、填空题、解答题三种形式考查，难度为中等偏下，其中选择、填空题主要考查数列的前n项和Sn与通项an之间的关系，前n项和公式的理解以及前n项和的求法，解答题则主要考查数列求和公式的应用以及数列的求和方法、数列与函数、不等式之间的关系． 2．素养考查：数学运算、数学建模、逻辑推理．　　 考点一　数列的通项公式 1．在数列{an}中，a1＝100，an＋1＝an＋3n(n∈N*)，则通项公式an＝____________． 解析：　由an＋1＝an＋3n(n∈N*)得，an＋1－an＝3n(n∈N*)，分别令n＝1，2，3，4，…，n－1(n≥2)，得到(n－1)个等式： a2－a1＝3，a3－a2＝32，a4－a3＝33，…，an－an－1＝3n－1. 将这(n－1)个等式累加得an＝a1＋3＋32＋…＋3n－1＝100＋＝·3n＋(n≥2)． 显然a1＝100适合上式， 故通项公式为an＝·3n＋，n∈N*. 答案：　·3n＋，n∈N* 2．已知首项为2的数列{an}满足an＋1(2n－1)＝an(2n＋1)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________． 解析：　因为an＋1(2n－1)＝an(2n＋1)(n∈N*)，且a1＝2，所以＝，得an＝a1×××…×＝2×××…×＝4n－2. 答案：　4n－2 3．已知数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，