2.6.2函数的极值课件-2022-2023学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

6．2　函数的极值 南阳市五中 要点　极值点与极植 1．极大值点与极大值 如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值__________x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的____________，其函数值f(x0)为函数的________． 都小于 极大值点 极大值 2．极小值点与极小值 如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值___________x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的____________，其函数值f(x0)为函数的________． 都大于 极小值点 极小值 3．极值的判断方法 如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是____________，f(x0)是________；如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是____________，f(x0)是________． 极大值点 极大值 极小值点 极小值 (1)函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在某一点附近的大小情况． (2)由函数极值的定义知道，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，即端点一定不是函数的极值点． (3)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可能只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既 有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小． (4)若f(x)在某区间内有极值，那么f(x)在该区间内一定不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值． 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若函数f(x)在(a，b)内有极值，则f(x)在(a，b)内一定不单调．(　　) (2)导数为零的点一定是极值点．(　　) (3)函数的极大值一定大于极小值．(　　) (4)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．(　　) √ × × √ 2．(多选题)下图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列命题中正确的是(　　) A．－3是函数y＝f(x)的极值点 B．－1是函数y＝f(x)的最小值点 C．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零 D．y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增 答案：AD 解析：由导函数图象知函数f(x)在(－∞，－3)上单调递减，(－3，＋∞)上单调递增，f′(－3)＝0，所以x＝－3是函数f(x)的极值点，故A、D正确，B不正确；又f′(0)>0，所以y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于0，故C不正确．故选AD. 3．函数y＝(x2－1)3＋1的极值点是(　　) A．极大值点x＝－1 B．极大值点x＝0 C．极小值点x＝0 D．极小值点x＝1 答案：C 解析：y′＝6x(x2－1)2＝0有三个根，x1＝－1，x2＝0，x3＝1，由解y′>0得x>0；由解y′<0得x<0，只有x＝0是极小值点，故选C. 4．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则m＝__________． －19 解析：y′＝－3x2＋12x 由y′>0得0<x<4. 由y′<0得x<0或x>4 所以函数y＝－x3＋6x2＋m在(－∞，0)和(4，＋∞)上单调递减，在(0，4)上单调递增． 所以函数y＝－x3＋6x2＋m在x＝4处取得极大值． 所以－43＋6×42＋m＝13. 题型一　求函数的极值(点) 例1　(1)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 答案：(1)D 解析：(1)由函数的图象可知，f′(－2)＝0，f′(2)＝0，并且当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0，则函数f(x)有极大值f(－2)．又当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0，则函数f(x)有极小值f(2)，故选D. (2)求下列函数的极值： ①f(x)＝x3－x2－3x； 解析：(2)①函数的定义域为R. f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)． 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3. 由此可知当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示： x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↙ 极小值 ↗ 当x＝－1时，f(x)有