第一章 习题课　数列求和课件-2022-2023学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

数列求和 南阳市五中 要点一　分组求和法 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列．所以求此类数列的前n项和，即先分别求和，然后再合并，形如： (1){an＋bn}，其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列； (2)an＝ (k∈N*). 要点二　错位相减求和法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如________数列的前n项和就是用此法推导的． 等比 在运用错位相减法求数列前n项和时要注意四点：①乘数(式)的选择；②对q的讨论；③两式相减后(1－q)Sn的构成；④两式相减后成等比数列的项数． 要点三　裂项相消求和法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 裂项相消求和经常用到下列拆项公式： (1)＝________； (2)＝__________________； (3)＝____________． 1.数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝(　　) A．9 B．8 C．17 D．16 答案：A 解析：S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9. 故选A. 2．1＋＋＋…＋＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：1＋＋…＋ ＝1＋(1－)＋()＋…＋ ＝1＋1－＝. 故选B. 3．已知数列：，2，3，…，(n+，则其前n项和为 ___________． ＋1－ 解析：1＋2＋3＋…＋ ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋ ＝ ＝＋1－. 4.＋＋＋＋…＋＝________． 3－ 解析：设Sn＝＋…＋① 则Sn＝＋…＋② ①－②得：Sn＝＋…＋ ＝ ＝ ＝＋1－ ∴Sn＝3－＝3－. 题型一　分组求和法 例1　已知数列{an}构成一个新数列：a1，(a2－a1)，…，(an－an－1)，…此数列是首项为1，公比为的等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn. 解析： (1)an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝1＋＋…＋＝. (2)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an ＝＋…＋ ＝n－＝(2n－1)＋. 观察发现，新数列的前n项和恰为an，这样即可将问题转化为首项为1，公比为的等比数列． 分组转化求和法的应用条件和解题步骤： (1)应用条件 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成． (2)解题步骤 跟踪训练1　在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列，求{bn}的前n项和Sn. 解析：(1)设等差数列{an}的公差是d. ∵a3＋a8－(a2＋a7)＝2d＝－6， ∴d＝－3， ∴a2＋a7＝2a1＋7d＝－23，解得a1＝－1， ∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋2. (2)∵数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列． ∴an＋bn＝qn－1，即－3n＋2＋bn＝qn－1， ∴bn＝3n－2＋qn－1. ∴Sn＝[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]＋(1＋q＋q2＋…＋qn－1)＝＋(1＋q＋q2＋…＋qn－1)． 故当q＝1时，Sn＝＋n＝； 当q≠1时，Sn＝. 题型二　错位相减求和法 例2　已知等比数列{an}满足：a1＝，a1，a2，a3－成等差数列，公比q∈(0，1)， (1)求数列{an}的通项公式． (2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn. 解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，a1＝， 因为a1，a2，a3－成等差数列，所以2a2＝a1＋a3－，即得4q2－8q＋3＝0，解得q＝或q＝，又因为q∈(0，1)，所以q＝， 所以an＝＝. (2)根据题意得bn＝nan＝. Sn＝＋…＋，① Sn＝＋…＋，② 作差得Sn＝＋…＋， Sn＝2－(n＋2). 变式探究　本例中设cn＝，求数列{an}的前n项和Tn. 解析：由题意知cn＝n·2n 所以Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－2)×2n－2＋(n－1)×2n－1＋n·2n 2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－2)×2n－1＋(n－1)×2n＋n·2n＋1 两式相减得：－Tn＝1×21＋22＋23＋24＋…＋2n－1＋2n－n·2n＋1 ＝－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，所以Tn＝(n－1)·2n＋1＋2.  错位相减