1.2.2等差数列的前n项和(一)课件-2022-2023学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

第1课时　等差数列的前n项和(一) 南阳市五中 要点　等差数列{an}的前n项和公式 两种不同形式 (1)当已知首项a1和末项时，用Sn＝______________， (2)当已知首项a1和公差d时，用Sn＝______________． na1＋d (1)等差数列前n项和公式的推导：设Sn＝a1＋a2＋…＋an，倒序得Sn＝.相加得2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)． 由等差数列性质，得2Sn＝n(a1＋an)， ∴Sn＝. 我们不妨将上面的推导方法称为倒序相加求和法. 今后，某些数列求和常常会用到这种方法． (2)公式的结构 ①Sn＝形似于梯形面积公式． ②Sn＝na1＋d＝n2＋n形似n的二次式，且常数项为0，n2的系数为即公差的一半． 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．(　　) (2)若数列{an}的前n项和为Sn，则S1＝a1.(　　) (3)等差数列{an}的前n项和Sn的表达式一定为关于n的二次函数．(　　) (4)若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn－1，n∈N＋.(　　) √ √ ×　 ×　 2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a9＝10，则S9等于(　　) A．45　 B．52 C．108 D．54 答案：D 解析：S9＝＝＝54.故选D. 3．在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝(　　) A．230 B．420 C．450 D．540 答案：B 解析：S20＝20a1＋d＝20×2＋×2＝420. 4．在等差数列{an}中，a1＝，S4＝20，则d＝________． 3 解析：由S4＝4a1＋d＝4××d＝20， 解得d＝3. 题型一　等差数列前n项和的基本运算 例1　在等差数列{an}中， (1)已知a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d； (2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d；   (3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n. 解析：(1)由题意得，Sn＝＝＝－5，解得n＝15. 又∵a15＝＋(15－1)d＝－， ∴d＝－.∴n＝15，d＝－. (2)由已知得S8＝＝＝172，解得a8＝39， 又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5. ∴a8＝39，d＝5. (3)∵an＝11，d＝2，Sn＝35， ∴ 解得n＝5，a1＝3或n＝7，a1＝－1. a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程组求解，在求解过程中要注意整体思想的运用． 跟踪训练1　在等差数列{an}中， (1)a1＝，d＝－，Sm＝－15，求m及am； (2)a6＝10，S5＝5，求a8和S10； (3)已知a3＋a15＝40，求S17. 解析：(1)∵Sm＝m×＝－15， 整理得m2－7m－60＝0 解得m＝12或m＝－5(舍去) ∴am＝a12＝＋(12－1)×＝－4. (2) 解得 ∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16， S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85. (3)S17＝＝＝＝340.   题型二　等差数列前n项和性质的应用 例2　(1)等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为(　　) A．130 B．170 C．210 D．260 (2)已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________． 答案：(1)C　(2) 解析：(1)利用等差数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6成等差数列． 所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)， 即30＋(S9－100)＝2(100－30)，解得S9＝210. (2)由等差数列的性质，知 ＝＝＝＝＝. (1)中S3，S6－S3，S9－S6也成等差数列． (2)中＝＝. 等差数列前n项和常用性质 (1)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是等差数列． (2)数列是等差数列，公差为数列{an}的公差的. (3)涉及两个等差数列的前n项和之比时，一般利用公式＝·进行转化，再利用其他知识解决问题． (4)用公式Sn＝时常与等差数列的性质a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…相结合． 跟踪训练2　(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14等于(　　) A．18　　B．17 C．16 D．15 (2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝100，S100＝10，则S110＝________． 答案：(1)A　(2)