1.2.1等差数列的概念及其通项公式(二)课件-2022-2023学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

第2课时　等差数列的概念及其通项公式(二) 南阳市五中 要点一　等差数列与一次函数的关系 由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的________，即自变量每增加1，函数值增加d. 当d>0时，数列{an}为________，如图甲所示． 当d<0时，数列{an}为________，如图乙所示． 当d＝0时，数列{an}为________，如图丙所示． 斜率 递增数列 递减数列 常数列 　 项目 等差数列 一次函数 解析式 an＝kn＋b(n∈N*) f(x)＝kx＋b(k≠0) 不同点 定义域为N*，图象是一系列孤立的点(在直线上) 定义域为R，图象是一条直线 相同点 等差数列的通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次整式 要点二　等差中项 (1)如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成________数列，那么A叫作a与b的等差中项． (2)如果A是a与b的等差中项，则A＝________． 状元随笔　在等差数列{an}中，任取相邻的三项an－1，an，an＋1(n≥2，n∈N*)，则an是an－1与an＋1的等差中项． 反之，若an－1＋an＋1＝2an对任意的均成立，则数列{an}是等差数列． 因此，数列{an}是等差数列⇔2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)．用此结论可判断所给数列是不是等差数列，此方法称为等差中项法． 等差 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等．(　　) (2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．(　　) (3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．(　　) (4)任意两个实数都有等差中项．(　　) √ √ √ √ 2．已知点(1，5)，(2，3)是等差数列{an}图象上的两点，则数列{an}为(　　) A．递增数列　 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定 答案：B 解析：等差数列{an}的图象所在直线的斜率k＝＝－2<0，则直线呈下降趋势，故数列{an}单调递减． 故选B. 3．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值是(　　) A．26 B．29 C．39 D．52 答案：C 解析：因为5，x，y，z，21成等差数列， 所以y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项，所以5＋21＝2y， ∴y＝13， ∴x＋z＝2y＝26 ∴x＋y＋z＝39. 故选C. 4．在△ABC中，三个内角A、B、C成等差数列，则B等于________. 60° 解析：因为三个内角A、B、C成等差数列， 所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°， 所以3B＝180°，所以B＝60°. 题型一　等差数列与一次函数的关系 例1　已知(2，1)，(4，5)是等差数列{an}图象上的两点． (1)求这个数列的通项公式； (2)判断(n，17)是否是{an}图象上的点，若是，求出n的值，若不是，说明理由； (3)判断这个数列的增减性，并求其最小正数项． 解析：(1)设等差数列{an}的通项公式为an＝dn＋b， 由(2，1)，(4，5)是等差数列图象上的两点，可得 解得所以an＝2n－3. (2)(n，17)是{an}图象上的点． 由2n－3＝17，得n＝10∈N＋， 所以(10，17)是{an}图象上的点． (3)由d＝2>0，知数列{an}为递增数列． 令2n－3>0，得n>， 即n≥2. 所以数列{an}的最小正数项为a2＝1. (1)根据等差数列图象上的两点求通项公式的一般方法是设出an＝dn＋b，将图象上的点代入，求d，b. (2)判断等差数列增减性的方法主要有两种，一是公差法：d>0递增；d<0递减；d＝0不单调．二是图象法：图象上升递增；下降递减；图象不上升也不下降，不单调． 跟踪训练1　在数列{an}中，a1＝3，a10＝21，已知该数列的通项公式是关于n的一次函数，则a2 021＝________． 4 043 解析：因为通项公式是关于n的一次函数，所以数列{an}为等差数列， 设an＝pn＋q(p，q是常数)，由已知得 解得所以an＝2n＋1(n∈N*)， 则a2 021＝2×2 021＋1＝4 043. 题型二　等差中项 例2　已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，则这三个数分别为________． 答案：3，5，7或7，5，3 解析：设此三个数分别为x－d，x，x＋d， 则 解得x＝5，d＝±2. ∴所求三个数分别为3，5，7或7，5，3. 变式探究　已知四个数成