5.1.2导数的概念及其几何意义-【361课堂】2022-2023学年高二数学同步“导思议展评测”精品课件(人教A版2019选择性必修第二册)

五、一元函数的导数及其应用 5.1导数的概念及其意义 5.1.2 导数的概念及其几何意义 1 课程标准 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬间变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬间变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想； 2.体会极限思想； 3.通过函数图象直接理解导数的几何意义。 2 复习回顾 回顾1 上节课我们学习的两类变化率问题分别是什么？ 3 新课导入 两类变化率问题： 一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度； 另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率. 这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也有一样的表示形式. 下面我们用上述思想方法研究更一般的问题. 4 一 二 三 教学目标 据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程. 培养学生数学抽象及直观想象的核心素养，提升数学运算核心素养. 教学目标 难点 重点 易错点 探究一：导数的概念 新知探究 6 新知讲解 上节课，我们对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到.这时，的变化量为，的变化量为. 我们把比值，即叫做函数从到的平均变化率. 7 概念生成 如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导 并把这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率)，记作或 即 8 新知讲解 由导数的定义可知 1.上节课的运动员在时的瞬时速度，就是函数在处的导数； 2.对于抛物线在点处的切线的斜率，就是函数在处的导数. 实际上，导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率，如效率、交变电流、比热容等. 9 例题讲解 例1.设，求. 解： （1）求增量 （2）求平均变化率 （3）求极限 10 例题讲解 例2.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第时，原油的温度(单位：)为.计算第与第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 11 新知讲解 解：在第和第时，原油温度的瞬时变化率就是和. 根据导数的定义， 所以，= 所以 在第和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和.说明在第附近，原油温度大约以的速率下降；在第附近，原油温度大约以的速率上升.一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况. 12 例题讲解 例3.一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设时汽车的速度(单位：)为，求汽车在第与第时的瞬时加速度，并说明它们的意义. 解：在第和第时，汽车的瞬时加速度就是和. 根据导数的定义， 13 新知讲解 所以，= 同理可得， 在第与第时，汽车的瞬时加速度分别是和说明在第附近，汽车的速度大约增加；在第附近，汽车的速度每秒大约减少. 14 思 新知探究 探究二：导数的几何意义 15 新知讲解 我们知道，导数表示函数在处的瞬时变化率，反映了函数在附近的变化情况. 那么导数的几何意义是什么？ 16 新知讲解 问题1：观察函数的图象，平均变化率表示什么？瞬时变化率表示什么？ 平均变化率 表示割线的斜率. 17 新知讲解 x f (x) 如图，在曲线上任取一点，如果当点沿着曲线无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置 这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线. 18 概念生成 割线的斜率. 记，当点沿着曲线无限趋近于点时 即当时，无限趋近于函数在处的导数. 因此，函数在处的导数就是切线的斜率，即. 这就是导数的几何意义. 19 新知讲解 继续观察图，可以发现点处的切线比任何一条割线更贴近点附近的曲线.进一步地，利用信息技术根据将点附近的曲线不断放大，可以发现点附近的曲线越来越接近于直线. 因此，在点附近，曲线可以用点处的切线近似代替. 以直代曲 20 例题讲解 例4.图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象.根据图象，请描述，比较曲线在附近的变化情况. l 21 新知讲解 解：我们用曲线在处的切线斜率，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况. (1)当时，曲线在处的切线平行于轴，.这时，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降. (2)当时，曲线在处的切线的斜率.这时，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减. (3)当时，曲线在处的切线平行于轴，.这时，在附近曲线下降，即函数在附近也单调递减. 从图可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降得缓慢. 22 例题讲解 例5.图是人体血管中药物浓度(单位：)随时间(单位：)变化得函数图象.根据图象，估计时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到). 23 新知讲解 解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度在此时刻的