5.1.2 第2课时 导数的几何意义-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

数学·选择性必修·第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 5．1　导数的概念及其意义 5．1．2　导数的概念及其几何意义 第2课时　导数的几何意义 高效导学第一步 梳理教材， 必备基础知识 切线的斜率 f′(x0) y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) 导函数 f′(x) y′ 典例探究， 提升关键能力 高效导学第二步 课程标准 核心素养 通过函数图象直观理解导数的几何意义． 1．直观想象：通过函数图象直观理解导数的几何意义． 2．数学运算：求切线方程． 一、导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的__________．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是____________．相应地，切线方程为_________________________． 二、导函数(导数)的定义 从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的______(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作__________或____，即f′(x)＝y′＝ eq \o(lim,\s\do20(Δx→0)) eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx) ． [提醒] (1)f′(x0)是具体的值，是数值． (2)f′(x)是函数，f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数． 【基础自测】 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)函数在x＝x0处的导数f′(x0)是一个常数．(　　) (2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率．(　　) (3)直线与曲线相切，则直线与已知的曲线只有一个公共点．(　　) (4)曲线y＝ eq \f(1,x) 在点(1，1)处切线的斜率为－1．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．已知曲线f(x)＝ eq \f(1,2) x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为(　　 ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝ eq \f(1,2) (x＋Δx)2＋(x＋Δx)－ eq \f(1,2) x2－x＝x·Δx＋ eq \f(1,2) (Δx)2＋Δx， ∴ eq \f(Δy,Δx) ＝x＋ eq \f(1,2) Δx＋1，∴f′(x)＝ eq \o(lim,\s\do20(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx) ＝x＋1． 设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝x0＋1＝3，∴x0＝2． 答案：D 3．曲线f(x)＝ eq \f(9,x) 在点(3，3)处的切线的倾斜角α等于(　　 ) A．45° B．60° C．135° D．120° 解析：f′(x)＝ eq \o(lim,\s\do20(Δx→0)) eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx) ＝9 eq \o(lim,\s\do20(Δx→0)) eq \f(\f(1,x＋Δx)－\f(1,x),Δx) ＝ －9 eq \o(lim,\s\do20(Δx→0)) eq \f(1,（x＋Δx）x) ＝－ eq \f(9,x2) ，所以f′(3)＝－1．又切线的倾斜角α的范围为0°≤α<180°，所以所求倾斜角为135°． 答案：C 4．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________． 解析：令f(x)＝2x2＋4x，设点P(x0，2x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) ＋4x0)，则f′(x0)＝ eq \o(lim,\s\do20(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx) ＝ eq \o(lim,\s\do20(Δx→0)) eq \f(2（Δx）2＋4x0·Δx＋4Δx,Δx) ＝4x0＋4， 令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3，30)． 答案：(3，30) eq \a\vs4\al(题型一　导数的几何意义) 【例1】 已知曲线y＝ eq \f(1,3) x3＋ eq \f(4,3) ． (1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2，4)的切线方程． 解：(1)∵P(2，4)在曲线y＝ eq \f(1,3) x3＋ eq \f(4,3) 上， ∴曲线在点P(2，4)处切线的斜率为 k＝ eq \o(lim,\s\do20(Δx→0)) eq \f(\f(1,3)（2＋Δx）3＋\f(4,3)－\b\lc\(\r