解三角形（综合测试）-2022-2023学年高一数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练

高一解三角形素质能力提高竞赛综合测试 第I卷（选择题） 一、单选题: 本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在中，，，点与点分别在直线的两侧，且，，则的长度的最大值是（    ） A． B． C．3 D． 2．已知的三个内角满足，则下列结论中正确的是（    ） A．是锐角三角形 B． C．角的最大值为 D．角的最大值为 3．在中，角所对的边分别是是边上一点，且，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 4．在中，角A､B､C所对的边分别为a､b､c，若，，，点O､H分别为的外心和重心，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．在中，若，，则的周长的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．在三角形ABC中，已知，，D是BC的中点，三角形ABC的面积为6，则AD的长为（    ） A． B． C． D． 7．在锐角中，若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即）大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（    ） A． B． C． D． 二、多选题: 本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点D在边上，和的面积分别为和且，则（    ） A． B． C．面积的最小值是 D．的最小值为6 10．已知的内角的对边分别是，，，则下列正确的是（    ） A．若，则有二解 B．若有解，则的范围为 C．若，，则的长度为 D．若是的中点，是的中点，那么的取值范围 11．如图，在中，，延长到点，使得，以为斜边向外作等腰直角三角形，则（    ） A． B． C．面积的最大值为 D．四边形面积的最大值为 12．在△ABC中，，，O为△ABC内的一点，设，则下列说法正确的是（    ） A．若O为△ABC的重心，则 B．若O为△ABC的内心，则 C．若O为△ABC的外心，则 D．若O为△ABC的垂心，则 第II卷（非选择题） 三、填空题: 本题共4个小题，每小题5分，共20分． 13．已知的外接圆的圆心为，若，则_________. 14．1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知中，其中，，为费马点，则的取值范围是______. 15．已知在锐角中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是______． 16．在中，点D在边BC上，已知，，的面积为，则___________. 四、解答题 17．如图，半圆O的直径，点C在AB的延长线上，，点P为半圆上异于A，B两点的一个动点，以点P为直角顶点作等腰直角，且点D与圆心O分布在PC的两侧，设． (1)将线段PC的长度表示为的函数； (2)求四边形ACDP面积的最大值，并求取得最大值时的值． 18．在中，， (1)求角C的大小； (2)求的取值范围． 19．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 (1)求角A； (2)若为锐角三角形，且的面积为S，求的取值范围． 20．记锐角内角的对边分别为，且，且． (1)求； (2)将延长至D，使得，记的内切圆与边相切于点T，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 21．某大学科研团队在如下图所示的长方形区域内（包含边界）进行粒子撞击实验，科研人员在A、O两处同时释放甲、乙两颗粒子.甲粒子在A处按方向做匀速直线运动，乙粒子在O处按方向做匀速直线运动，两颗粒子碰撞之处记为点P，且粒子相互碰撞或触碰边界后爆炸消失.已知长度为6分米，O为中点. (1)已知向量与的夹角为，且足够长.若两颗粒子成功发生碰撞，求两颗粒子运动路程之和的最大值； (2)设向量与向量的夹角为（），向量与向量的夹角为（），甲粒子的运动速度是乙粒子运动速度的2倍.请问的长度至少为多少分米，才能确保对任意的，总可以通过调整甲粒子的释放角度，使两颗粒子能成