中原名校2022年高三上学期第四次精英联赛文科数学试题

中原名校上学期期第四次精英联赛 高三文科数学·全解全析 1．【答案】D 【解析】由题意，得，故选D． 2．【答案】C 【解析】因为，所以，故选C． 3．【答案】B 【解析】要使有意义，需满足，解得且．故选B． 4．【答案】D 【解析】由散点图可知，所求回归方程先减后增，选项中A，B均为定义域上的增函数，不符合题意；C中的函数图象为开口向下的抛物线，不符合题意；所以D中的函数图象增减性与散点图没有矛盾，故选D． 5．【答案】B 【解析】当时，由，得恒成立，所以充分性成立；当时，例如，不满足，所以必要性不成立，故选B． 6．【答案】C 【解析】设等比数列的公比为，因为，所以，又，所以，即，解得或，因为数列递增，所以，由，得，故选C． 7．【答案】A 【解析】因为，，所以，故选A． 8．【答案】B 【解析】圆，即，其圆心为，半径1，因为为等边三角形，所以点C到直线AB的距离为，易知直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为，即，所以，解得．故选B． 9．【答案】C 【解析】联立方程，消去，整理得，，设的横坐标分别为，则，，所以，由，得，整理得，即，即，所以椭圆的离心率的取值范围为，故选C． 10．【答案】C 【解析】由已知得，三棱锥的四个顶点是一个长方体的四个顶点，如图所示．该长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为1，，，且三棱锥的外接球即为长方体的外接球，所以外接球的直径长为，所以三棱锥的外接球表面积为，当且仅当时等号成立．故选C． 11．【答案】C 【解析】因为数列的前项和，所以当时，，两式相减，得，当时，也符合该式，所以，所以数列是首项为12，公差为12的等差数列，所以，故选C． 12．【答案】B 【解析】因为，所以，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．由，得，所以不等式①在上有解．当时，不等式①显然无解； 当时，，，所以由，得，即在上有解．令，，则，所以在上为增函数，所以，所以．故选B． 13．【答案】1 【解析】由题意满足的可行域为以点为顶点的三角形及其内部，如图所示， 平移直线可知，当且仅当动直线经过点时取得最大值，最大值为． 14．【答案】 【解析】在，，，，中任取不共线的3点，共有8种结果，满足这3点构成的三角形的面积为1的共有4种结果，所以所求概率为． 15．【答案】 【解析】由题意，为边AB的靠近点的三等分点，为边的中点，如图，取DB的中点F，连接EF，则，，所以 ，所以，， ． 16．【答案】 【解析】因为点在函数的图象上，所以，结合图象可知，解得，因为，所以取，，所以函数的的最小正周期为，因为图象上的两点B，C的坐标分别是，，所以，所以 ，当且仅当时取等号． 17．【解析】 （1）根据操作能手的认定规则，得 甲车间中任选一个工人，该工人为操作能手的概率为，（3分） 乙车间中任选一个工人，该工人为操作能手的概率为．（6分） （2）甲车间的100位工人完成生产任务的平均工作时间为， （9分） 乙车间的100位工人完成生产任务的平均工作时间为 ， 因为，所以乙车间的效率比较高．（12分） 18．【解析】 （1）因为C点关于直线BD的对称点在直线AD上， 所以DB平分，所以， 因为，所以，BC=CD，所以，所以， 因为，，所以，（4分） 所以．（7分） （2）因为在中，，AC=3， 所以，所以，（9分） 在中，由余弦定理得， ． （12分） 19．【解析】 （1）分别取线段AB，CD的中点H，P，连接PG，HG，PE，HE． 由已知可得P，G，H三点共线，P，O，E三点共线． 因为DF=2AF，FG=CG，所以， 又O为三角形ECD的重心，所以，（2分） 连接，则， 因为平面ABE，平面ABE， 所以平面ABE．（5分） （2）因为EAB为等边三角形，H为AB的中点，所以， 因为平面ABCD平面EAB，且交线为AB， 所以平面ABCD，所以，， 同理，平面，平面，所以BC⊥BE，AD⊥AE， 又，所以平面，所以，（8分） 设AB=a，则四棱锥E-ABCD的体积为， 由已知得，解得a=4．（10分） 所以，，， 四棱锥E-ABCD的表面积．（12分） 20．【解析】 （1）由题意，抛物线的焦点为，准线方程为， 设，，，，由，为的中点，可得， 由，可得，即，解得， 所以抛物线的方程为．（4分） （2）由题意，得直线， 由消去，整理得，（6分） 设的坐标分别为，，则，， 所以点的坐标为，（7分） 因为，所以以代替点坐标中的， 可得点的坐标为， ∴直线的斜率，（9分） ∴直线的方程为， 即，显然当，时，该式恒成立， 所以直线经过定点．（12分） 21．【解析】 （1）当时，，， 所以，即， 由，得，（2分） 令，得， 所以时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为，所以，即．（4分