中原名校2022年高三上学期第四次精英联赛理科数学试题

中原名校上学期期第四次精英联赛 高三理科数学·全解全析 1．【答案】C 【解析】由，解得或，所以，又，所以，故选C． 2．【答案】C 【解析】由题意，，在复平面内对应的点为，位于第三象限，故选C． 3．【答案】D 【解析】由散点图可知，所求回归方程先减后增，选项中A，B均为定义域上的增函数，不符合题意；C中的函数图象为开口向下的抛物线，不符合题意；所以D中的函数图象增减性与散点图没有矛盾，故选D． 4．【答案】D 【解析】由不等式得，，，不等式恒成立，命题为真命题；因为在上单调递减，所以当时，，所以命题为假命题，所以为假命题，为假命题，为假命题，为真命题，故选D． 5．【答案】D 【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以可设双曲线的方程为，，当时，虚轴的一个端点为，到渐近线的距离为，解得，此时双曲线的方程为；当时，虚轴的一个端点为，到渐近线的距离为，解得，此时双曲线的方程为，故选D． 6．【答案】A 【解析】因为，，所以，故选A． 7．【答案】C 【解析】联立方程，消去，整理得，，设的横坐标分别为，则，，所以，由，得，整理得，即，即，所以椭圆的离心率的取值范围为，故选C． 8．【答案】B 【解析】因为，所以，即，即，即，由正弦定理得，所以，由，得，即，即，解得，故选B． 9．【答案】C 【解析】由已知得，三棱锥的四个顶点是一个长方体的四个顶点，如图所示．该长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为1，，，且三棱锥的外接球即为长方体的外接球，所以外接球的直径长为，所以三棱锥的外接球表面积为，当且仅当时等号成立．故选C． 10．【答案】B 【解析】由题意，得，所以，所以 ，所以，解得 ，所以 ，故选B． 11．【答案】B 【解析】因为，所以，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．由 ，得，所以不等式①在上有解．当时，不等式①显然无解； 当时，，，所以由，得，即在上有解．令，，则，所以在上为增函数，所以，所以．故选B． 12．【答案】D 【解析】①若，则，故①正确； ②假设，因为，，所以0<pi<1， 所以（i=1，2，…，n），所以， 这与矛盾，所以假设不成立，所以，故②正确； ③若n=2，则p1+p2=1，， 设，0<p<1， 则， 令，得，解得，此时函数单调递减， 令，，解得，此时函数单调递增， 所以当时最大，所以当时，H（X）取得最大值，故③正确； ④由题意知，，，，…，， ∴， 又， ∴， 又，，…，，∴，∴，故④正确． 综上，正确说法的序号为①②③④，故选D． 13．【答案】 【解析】由题意满足的可行域为以点为顶点的三角形及其内部，如图所示，在处的值不是，所以在处取到最大值，所以，解得． 14．【答案】 【解析】在，，，，中任取不共线的3点，共有种结果，满足这3点构成的三角形的面积为1的共有4种结果，所以所求概率为． 15．【答案】 【解析】因为点在函数的图象上，所以，结合图象可知，解得，因为，所以取，，所以函数的的最小正周期为，因为图象上的两点B，C的坐标分别是，，所以，所以 ，当且仅当时取等号． 16．【答案】 【解析】因为在平面展开图中，，所以在四棱锥中，平面．因为在等腰梯形中，，，所以．因为PA=1，所以．又在四棱锥中，，所以在中，由余弦定理，得． 17．【解析】 （1）解一元二次方程得或，（2分） 由题意，可得，等比数列的公比，（3分） 所以．（4分） （2）由（1）可知，， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列， 其前项和为，则，（6分） 所以；当时，；当时，；当时，． 所以，，当时，，（9分） 所以；当时，；当时，． 综上，可得．（12分） 18．【解析】 （1）分别取线段AB，CD的中点H，P，连接PG，HG，PE，HE． 由已知可得P，G，H三点共线，P，O，E三点共线． 因为DF=2AF，FG=CG，所以，（1分） 又O为三角形ECD的重心，所以，（2分） 连接，则， 因为平面ABE，平面ABE，（3分） 所以平面ABE．（4分） （2）在等边EAB中，因为H为AB的中点，所以，（5分） 因为平面ABCD平面EAB，平面ABCD平面EAB=AB，平面EAB， 所以平面ABCD，由（1）可得， 所以HE，HA，HP两两垂直， 分别以HE，HA，HP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系H-xyz，如图．（6分） 因为，，所以， 设，则，， 所以，，，， 所以，，，（8分） 设平面BCE的法向量为，则，即， 令a=1，则，所以是平面BCE的一个法向量，（10分） 设直线CF与平面BCE所成的角为，则．（12分） 19．【解析】 由题意，对一件商品进行质量把关，其质量为级的概率为， 质量为B级的概率为，（3分） 质量为C级的概率为， 质量为D级的概率为．（6分） （1）对两件商品进行质量把关，两