中原名校2022年高三上学期第二次精英联赛数学（理）试题

绝密★启用前 中原名校上学期高三第二次精英联赛 理科数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合，，则的子集个数为 A．8 B．16 C．32 D．64 2．如图，已知正八边形的边长为1，则（ ） A．1 B．2 C． D． 3．若，，则（ ） A． B． C． D． 4．定义：．若，，则（ ） A．10 B．9 C．8 D．7 5．已知实数满足约束条件，则的最大值为（ ） A．4 B． C． D． 6．已知数列的前项和为，，若，则取最大值时，（ ） A．3 B． C．4 D．3或4 7．新学期学生自主选择选修课，甲、乙、丙三名学生，分别选择且只选择了生物实验课、物理实验课、化学实验课中的一门功课，在同学间相互交流时，他们做了如下陈述： 甲：“我选择生物实验课，乙选择物理实验课” 乙：“甲选择物理实验课，丙选择生物实验课” 丙：“甲选择化学实验课，乙选择生物实验课” 若甲、乙、丙选的功课两两不同，且三人的陈述都是一半对，一半错，则根据以上信息，可判断下列说法中正确的是（ ） A．甲选择物理实验课 B．乙选择化学实验课 C．丙选择物理实验课 D．甲选择化学实验课 8．若函数定义域内的任意两个实数，均满足①，②，③．则函数图象可能是（ ） 9．已知各项均为正数的数列满足，且．若当且仅当时，取得最小值，且，则符合条件的实数组成的集合中的元素个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．已知函数，，若将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数在区间内没有极大值点，则的取值范围是 A． B． C． D． 11．已知函数，若，则的最小值为 （ ） A．1 B．2 C．4 D．8 12．已知，若函数，当时，函数的零点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知，，若，则__________． 14．若复数满足，则的取值范围是__________． 15．已知的内角的对边分别为，且，若的面积为，则的外接圆的半径的最小值为__________． 16．已知，，若曲线上总存在不同的两点，使曲线在两点处的切线互相平行，则的取值范围为__________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分） 已知向量，函数． （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的最值． 18．（12分） 已知数列中，，，． （1）求证：数列是等比数列； （2）记数列的前项和，求． 19．（12分） 已知在中，内角的对边分别是，且． （1）求的取值范围； （2）求的最大值． 20．（12分） 已知函数． （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值； （2）当时，若对于任意，均有成立，求实数的取值范围． 21．（12分） 已知数列的前项和为，，． （1）求数列，的通项公式； （2）若恒成立，求实数的最小值． 22．（12分） 已知函数，其中常数． （1）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）若，且，求证：． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 中原名校上期第二次精英联赛 高三理科数学·全解全析 一、选择题 1．【答案】D 【解析】由题意， ，，所以，故的子集个数为：．故选D． 2．【答案】C 【解析】分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图．可得，，，，，所以，，所以．故选C． 3．【答案】B 【解析】因为 ，所以，又因为，所以 ，所以，所以 ．故选B． 4．【答案】A 【解析】由题意，因为，所以，所以，所以，．故选A． 5．【答案】D 【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，由可得，所以当经过点时，取得最大值．联立，得，所以，故选D． 6．【答案】D 【解析】由，得，所以．因为，所以当或时，有最大值12，此时或．故选D． 7．【答案】D 【解析】解法一：若A正确，即甲选择物理实验课，则甲的陈述两句都错，不符合题意，故A选项错误；若B正确，即乙选择化学实验课，则丙的陈述两句都错，不符合题意，故B选项错误；若C正确，即丙选择物理实验课，则乙的