解密05 各类基本初等函数（二次函数、指对幂函数等）（讲义）-【高频考点解密】2023年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

解密05讲：各类基本初等函数 【考点解密】 1．二次函数的图象和性质 解析式 f (x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f (x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 在x∈上单调递减； 在x∈上单调递增 在x∈上单调递增； 在x∈上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝－对称 2．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 图象 性质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 (1,1) 3．一般幂函数的图象特征 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． (4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． (5)在第一象限作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 4．分数指数幂 (1)＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； 0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈R) aras＝ar＋s； ； (ar)s＝ars； (ab)r＝arbr ． 5．指数函数的图象与性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 定义域 (1)R 值域 (2)(0，＋∞) 性质 (3)过定点(0,1) (4)当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 (5)当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 (6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数 6．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数， N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N. 以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N. (e＝2.718 28…) 7．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质： ①1的对数为零：loga1＝0. ②底的对数为1：logaa＝1. ③零和负数没有对数． ④＝N(a>0，且a≠1，N>0)． (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，b>0，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③＝logab． (3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)． 重要推论：①logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)； ②logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 8．对数函数的图象与性质 y＝logax a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性 质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 9．反函数 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 【方法技巧】 1．解决二次函数图象与性质问题时要注意： (1)抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论． (2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)． (3)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论． 2．幂函数：(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其